ElectroYou

Ciao a tutti,
chi saprebbe spiegarmi perché il passaggio dal sistema di riferimento stazionario a quello sincrono non è invariante per la potenza e quale è la trasformazione da adottare?
Grazie in anticipo........

P.S.: si parla di macchine rotanti: in particolare è di mio interesse il motore asincrono.

abj79 ha scritto: non è invariante per la potenza

cosa intendi ??? le trasformzioni generlmente sono quasi tutte geometriche, la potenza non entra quasi mai in campo!

parte sottolineata, pag 59 del testo (oppure 8 del pdf):
http://www.diegm.uniud.it/petrella/Azionamenti%20Elettrici%20II/MSMP.pdf

sinceramente non me lo ricordo però mi viene da pensare che cambiando reference frame, ottieni i valori di tensione e corrente scalati di tale fattore(2/3)^0.5 quindi quando vai al calcolo finale devi ricordrti che questo fattore va compensato. odio i modelli dinamici ! :)

Ti rispondo citando sempre Petrella! :mrgreen:

La risposta la trovi in parte in qui al paragrafo 3.1.3: in pratica la trasformazione $abc \rightarrow \alpha \beta$ è definita dalla matrice (trascurando la componente omopolare):

$T_{abc \rightarrow \alpha \beta} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$

Mentre quella $\alpha \beta \rightarrow dq$ è:

$T_{\alpha \beta 0 \rightarrow dq} = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} \cos(\theta_{dq}) & \sin(\theta_{dq}) \\ -\sin(\theta_{dq}) & \cos(\theta_{dq}) \\ \end{bmatrix}$

Se parti dall'espressione della potenza istantanea p(t)

nel tempo, la ottieni come

p(t)=u(t)^Ti(t)

che, espressa nel riferimento stazionario $\alpha \beta$ e trascurando per semplicità la componente omopolare, hai

$p(t)=u_{\alpha \beta}^TT_{\alpha \beta \rightarrow abc}^TT_{\alpha \beta \rightarrow abc}i_{\alpha \beta}$ ,

avendo indicato con $T_{\alpha \beta \rightarrow abc}$ l'inversa di $T_{abc \rightarrow \alpha \beta}$ .
Il prodotto $T_{\alpha \beta \rightarrow abc}^TT_{\alpha \beta \rightarrow abc}$ , se provi a calcolarlo, restituisce la matrice

$\frac{3}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Per cui il risultato finale della potenza è $p(t)=\frac{3}{2}(u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta})$ . Ovviamente le componenti $\alpha$ e $\beta$ dipendono dal tempo, io non l'ho messo per non incasinare l'espressione.
Qui vedi che la potenza in $\alpha \beta$ NON è la calcoli banalmente come $u_{\alpha}i_{\alpha}+u_{\beta}i_{\beta}$ , ma c'è un fattore $\frac{3}{2}$ che sfalsa il risultato.
Se ora trasformi in

, sapendo che $u_{dq}=T_{\alpha \beta \rightarrow dq}u_{\alpha \beta}$ (e analogamente per la corrente), ottieni:

$p(t)=u_{dq}^TT_{\alpha \beta \rightarrow dq}^TT_{\alpha \beta \rightarrow abc}^TT_{\alpha \beta \rightarrow abc}T_{\alpha \beta \rightarrow dq}i_{\alpha \beta}$

$p(t)=\frac{3}{2}(u_{dq}^T \begin{bmatrix} \cos & -\sin \\ \sin & \cos \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos & \sin \\ -\sin & \cos \end{bmatrix} i_{dq})=\frac{3}{2}(u_{dq}^T\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}i_{dq})=\frac{3}{2}(u_di_d+u_qi_q)$ ,

dove anche qui per semplicità di notazione ho messo solo $\cos$ e $\sin$ .
Per cui anche qui c'è lo stesso fattore $\frac{3}{2}$ in più, analogamente a quanto accadeva per $\alpha \beta$ (lo potevi vedere anche notando che $T_{\alpha \beta \rightarrow dq}$ è ortogonale, per cui non varia la scala).

In questo senso sia quando calcoli la potenza in $\alpha \beta$ sia quando la calcoli in

devi tener conto cher la trasformazioni dal "dominio" trifase introduce dei contributi che, a seconda dei riferimenti utilizzati, porteranno la potenza ad avere espressione rispettivamente:

$p(t)=\begin{cases} (u_ai_a+u_bi_b+i_ci_c) \\ \frac{3}{2}(u_\alpha i_\alpha+u_\beta i_\beta) \\ \frac{3}{2}(u_d i_d+u_q i_q)\end{cases}$

OTTIMO, GRANDE!
perché però sto trovando (altrove) che la matrice di trasformazione ha per coefficiente $\sqrt{2/3}$ invece che 2/3?

E come si passa, in presenza di componenti omopolari, da:
$p(t)= \frac{3}{2}(u_\alpha i_\alpha+u_\beta i_\beta)$
a:
$p(t)=\frac{3}{2} Re \left [ \overline{u}(t)\breve{i}(t) \right ]$
con
Re: operatore parte reale
-: vettore spaziale
U: complesso e coniugato
?

L'utilizzo del termine $\sqrt{\frac{2}{3}}$ al posto di $\frac{2}{3}$ serve proprio a normalizzare le potenze: si tratta di una notazione leggermente diversa, che modifica le ampiezze dei vettori nei riferimenti sincroni e rotanti ma che dall'altro lato permette di calcolare la potenza come $p(t)=(u'_\alpha i'_\alpha+u'_\beta i'_\beta)$ , dove stavolta $u'_{\alpha \beta}$ e $i'_{\alpha \beta}$ sono i vettori rotanti calcolati con la matrice di rotazione "alternativa" con $\sqrt{\frac{2}{3}}$ .
In pratica o conservi le ampiezze delle componenti o la potenza, ma non entrambe: con $\frac{2}{3}$ mantieni costanti le ampiezze ma la potenza va corretta di $\frac{3}{2}$ , con $\sqrt{\frac{2}{3}}$ mantieni la potenza ma devi ricordarti che le ampiezze differiscono per un fattore $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

abj79 ha scritto:E come si passa, in presenza di componenti omopolari, da:
$p(t)= \frac{3}{2}(u_\alpha i_\alpha+u_\beta i_\beta)$
a:
$p(t)=\frac{3}{2} Re \left [ \overline{u}(t)\breve{i}(t) \right ]$

Non mi è mai capitato, però direi che non è possibile: la presenza della componente omopolare rende il vettore nel riferimento stazionario dotato di 3 basi: $\alpha$ , $\beta$ e

. La notazione complessa $x_\alpha + jx_\beta$ la puoi utilizzare solo quando non è presente la componente omopolare, in questo modo hai 2 dimensioni (basi ortogonali) che possono essere rappresentate agevolmente nel piano di Gauss. Se ci metti anche la base

la notazione complessa della potenza perde di senso: dove finirebbe la componente omopolare nella formula?
Se è presente anche la componente omopolare, la potenza devi calcolartela considerando la matrice intera $3\times 3$ , mentre se non c'è, onde evitare di ricorrere alla matrice $2\times 2$ , puoi utilizzare tranquillamente la notazione complessa (ma solo in quel caso).

la mia risposta era sicuramente più completa! :^o

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riferimenti e potenza

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