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Linea di Trasmissione

Circuiti e campi elettromagnetici

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[1] Linea di Trasmissione

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 6 set 2015, 13:02

Salve a tutti. Mi piacerebbe avere il parere di qualche addetto ai lavori riguardo il seguente esercizio, di cui non dispongo della soluzione.

Testo - Si abbia un circuito formato da due tratti di linea di trasmissione privi di perdite come in figura e con le seguenti caratteristiche: l_1=1.25\lambda_1,l_2=0.25\lambda_2,Z_1=75\Omega, Z_2=50\Omega, Z_L=(150+\text{j}90) \Omega. Si calcoli l'impedenza di ingresso Z_{\text{in}} alla sezione \text{CC'}, il coefficiente di riflessione (modulo e fase) a ciascuna delle sezioni \text{AA'}, \text{BB'} ed il ROS in ciascuno dei due tratti di linea.







Svolgimento (approccio algebrico)

Detta z(0)=Z_L/Z_1=(2+\text{j}1.2)\Omega l'impedenza normalizzata riferita al primo tratto di linea, valuto il coefficiente di riflessione \Gamma alla sezione \text{AA'} come

\boxed{\Gamma (0)=\frac{z(0)-1}{z(0)+1}\approx0.48\exp(\,\text{j} \,0.49 \, )}

conseguentemente, per il primo tratto di linea il rapporto di onda stazionaria vale

\boxed{ROS_1=\frac{1+|\Gamma (0)|}{1-|\Gamma (0)|}\approx 2.85}

Adesso mi valuto l'impedenza normalizzata vista alla sezione \text{BB'} tramite la formula del trasporto di impedenza

\begin{aligned}z(l_1^-)=\frac{z(0)+\text{j}\tan\left(\frac{2\pi}{\lambda_1}l_1\right)}{1+\text{j}z(0)\tan\left(\frac{2\pi}{\lambda_1 }l_1\right)} &=\frac{z(0)+\text{j}\tan(2\pi 1.25)}{1+\text{j}z(0)\tan(2 \pi 1.25)} \\ &=\lim_{\theta\to\pi/2} \frac{z(0)+\text{j}\tan(\theta)}{1+\text{j}z(0)\tan(\theta)} =\frac{1}{z(0)} \approx 0.37-\text{j}0.22\end{aligned}

a questo punto la precedente linea si può studiare mediante la seguente



La nuova impedenza normalizzata vale

z(l_1^+)=z(l_1^-)\frac{Z_1}{Z_2}\approx 0.54-\text{j}0.33

dunque coefficiente di riflessione visto alla sezione \text{BB'} si può valutare come

\boxed{\Gamma (l_1)=\frac{z(l_1^+)-1}{z(l_1^+)+1}\approx 0.36\exp (\, \text{j} \, 3.97\,)}

mentre il rapporto di onda stazionaria vale

\boxed{ROS_2=\frac{1+|\Gamma (l_1)|}{1-|\Gamma (l_1)|}\approx 2.13}

Trasporto nuovamente l'impedenza normalizzata z(l_1^+) alla sezione \text{CC'} sempre applicando la formula del trasporto di impedenza

\begin{aligned}z(l_2^-)=\frac{z(l_1^+)+\text{j}\tan\left(\frac{2\pi}{\lambda_2}l_2\right)}{1+\text{j}z(l_1^+)\tan\left(\frac{2\pi}{\lambda_2 }l_2\right)} &=\frac{z(l_1^+)+\text{j}\tan(2\pi 0.25)}{1+\text{j}z(l_1^+)\tan(2 \pi 0.25)} \\ &=\lim_{\theta\to\pi/2} \frac{z(l_1^+)+\text{j}\tan(\theta)}{1+\text{j}z(l_1^+)\tan(\theta)} =\frac{1}{z(l_1^+)} \approx 1.35+\text{j}0.83\end{aligned}

concludendo che l'impedenza vista alla sezione \text{CC'} vale

\boxed{Z(l_2)=z(l_2^-)Z_2\approx (67.5+\text{j}41.5) \Omega}





Svolgimento (approccio grafico)

Per prima cosa individuo il punto P associato al carico

\text{impedenza normalizzata:} \quad z(0)=\frac{Z_L}{Z_1}=(2+\text{j}1.2)\Omega



Al punto P è associato il vettore \overrightarrow{OP} di lunghezza |\overrightarrow{OP}| e angolazione \theta

|\overrightarrow{OP}|\approx\frac{3.6 \text{ cm}}{7.4 \text{ cm}}\approx 0.49
\theta\approx 27^\circ



dunque coefficiente di riflessione e ROS visti alla sezione \text{AA'} valgono

\boxed{\Gamma (0)=|\overrightarrow{OP}|\exp(\text{j}\theta)\approx0.49\exp(\,\text{j} \,0.47 \, )}

\boxed{ROS_1=\frac{1+|\Gamma (0)|}{1-|\Gamma (0)|}\approx 2.92}

Il punto P' associato all'impedenza vista alla sezione \text{BB'} si ottiene ruotando in senso orario il punto P sulla circonferenza |\Gamma|=|\overrightarrow{OP}|, lungo un arco di 1.25 lunghezze d'onda (2 giri e mezzo).



il nuovo punto ha coordinate



L'impedenza normalizzata che si vede alla sezione \text{BB'} è dunque

z(\l_1^+)=(0.35-\text{j}0.22)\frac{Z_1}{Z_2}=(0.35-\text{j}0.22)\frac{75\Omega}{50\Omega}=0.53-\text{j}0.33

alla quale si associa il punto P''



le dimensioni del vettore \overrightarrow{OP''} sono
|\overrightarrow{OP''}|=\frac{2.7 \text{ cm}}{7.4 \text{ cm}}\approx 0.36
\theta''=-133^\circ




conseguentemente

\boxed{\Gamma (l_1)=|\overrightarrow{OP''}|\exp(\text{j}\theta'')\approx0.36\exp(\,-\text{j} \,2.32 \, )}

\boxed{ROS_2=\frac{1+|\Gamma (l_1)|}{1-|\Gamma (l_1)|}\approx 2.13}

Infine, identifico il punto P''' associata all'impedenza normalizzata vista alla sezione \text{CC'}. Per farlo, ruoto P'' in senso orario di 0.25 lunghezze d'onda (ossia mezzo giro)



Il nuovo punto ha coordinate



quindi l'impedenza vista alla sezione \text{CC'} vale

\boxed{Z(l_2)=(1.4+\text{j}0.8)Z_2=(70+\text{j}40)\Omega}


Conclusioni - Riconosco che la quantità di informazioni che ho riportato è notevole e che il tread è piuttosto pesante. Per questo motivo, nel caso in cui qualcuno abbia voglia/tempo di rispondermi, non mi interessa sapere se i risultati sono corretti o meno, ma sapere se nel complesso l'esercizio è stato impostato in modo corretto (o meglio, sapere se non ho commesso errori concettuali).
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[2] Re: Linea di Trasmissione

Messaggioda Foto UtenteMarcoD » 6 set 2015, 15:16

Mi pare che l'impostazione e i due metodi di risoluzione siano corretti. anche i risultati, nell'ambito delle tolleranza del calcolo sono corrispondenti :ok:
Molti anni fa "ho girato" per un poco anche io sulla carta di Smith, allora si usavano le fotocopie e si tracciavano i punti a matita per riutilizzare la carta. Per fortuna ho passato "campi elettromagnetici" solo con i "compitini" con gli esercizi di adattamento di impedenza, senza dover dare l'orale con il Prof. M.Boella.
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[3] Re: Linea di Trasmissione

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 6 set 2015, 15:41

Ti ringrazio Marco per la risposta. Purtroppo ho poca esperienza con la materia, per cui mi sento ancora molto "insicuro" davanti a questi problemi, relativamente banali a chi di dovere.
Sapresti mica dirmi, in linea di massima, in che range stanno gli errori commessi? Mi pare di aver sentito che in genere non vanno oltre il 10%.
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[4] Re: Linea di Trasmissione

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 6 set 2015, 18:46

Una nota rapida, valida purtroppo solo per questo esercizio.

Per il calcolo analitico puoi osservare che i due tratti di linea sono degli adattatori in \lambda/4 e quindi non serve usare la formula del trasporto dell'impedenza, basta ricordare che l'impedenza di ingresso Z_i di una linea in \lambda/4 di impedenza caratteristica Z_0, con un carico Z_L alla fine vale Z_i=\frac{Z_0^2}{Z_L}: non ti serve normalizzare le impedenze e usare la formula di trasporto.

Se hai una calcolatrice che fa i conti con i numeri complessi, l'impedenza di ingresso la calcoli in un momento, sfortunatamente solo in questo caso in cui i tratti sono di lunghezza facile da calcolare.

Sulla carta di Smith questa semplificazione si traduce nel non dover usare il compasso: dovendo fare mezzo giro, basta prendere il punto simmetrico rispetto al centro per trovare l'impedenza di ingresso.

Se ho tempo poi controllo anche i conti. L'impedenza di ingresso calcolata con la calcolatrice viene 66.7+j40 ohm.
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[5] Re: Linea di Trasmissione

Messaggioda Foto UtenteGost91 » 6 set 2015, 18:49

Grazie Isidoro, molto gentile.
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