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Testo - E' data la linea di trasmissione di impedenza caratteristica $Z_0=50 \, \Omega$ , su cui la lunghezza d'onda è $\lambda=1 \, \text{m}$ . I carichi di impedenza $Z_{L1}=(100+\text{j}100)\, \Omega$ e $Z_{L2}=(75+\text{j}150)\, \Omega$ sono collegati alla sezione $\text{AA'}$ mediante due tratti di linea di impedenza caratteristica $Z_1=75 \, \Omega$ di lunghezza rispettivamente $d_1=0.2 \lambda$ e $d_2=0.4 \lambda$ . La distanza tra le sezioni $\text{BB'}$ e $\text{AA'}$ è $d_3=0.1 \lambda$ . Si determini 1) il carico equivalente immediatamente a destra della sezione $\text{AA'}$ e 2) della sezione $\text{BB'}$ ; si adatti il carico trovato al punto precedente mediante il doppio stub raffigurato, scegliendo la soluzione che minimizza la lunghezza l_1

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Svolgimento - L'ordine con cui bisogna procedere è già stabilito dal testo, mi limito dunque a seguire i passi indicati.

Carico equivalente immediatamente a destra della sezione $\text{AA'}$

A destra della sezione $\text{AA'}$ si hanno due tratti di linea in parallelo

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Per trovare il carico equivalente Z_L

è sufficiente trasportare $Z_{L1}$ e $Z_{L2}$ alla sezione $\text{AA'}$ , per poi valutarne il parallelo.

Al carico $Z_{L1}$ è associata l'impedenza normalizzata $z_{L1}(0)=Z_{L1}/Z_1=1.33+\text{j}1.33$ , associata a sua volta al punto P sul piano Γ.

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Ora $z_{L1}(0)$ deve essere trasportata per un tratto lungo $0.2\lambda$ , quindi il punto P ruota in senso orario lungo la rispettiva circonferenza a $|\Gamma|$ costante su un arco di $0.2\lambda$ , trovandosi in P' alla fine del processo.

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Al punto P' è associata l'impedenza normalizzata $z_{L1}(0.2\lambda)=0.55-\text{j}0.75$

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tramite lo stesso procedimento, trovo per l'altra impedenza $z_{L2}(0.4\lambda)=0.45+\text{j}0.35$ .

A questo punto dovrei denormalizzare le due impedenze $z_{L1}(0.2\lambda)$ , $z_{L2}(0.4\lambda)$ per poi valutare il parallelo.
Invece di stare a fare i conti trasformo le due impedenze normalizzate in ammettenze normalizzate, per poi sommarle e denormalizzare.

L'ammettenza associata all'impedenza $z_{L1}(0.2\lambda)$ è in corrispondenza con il punto P''=-P'

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quindi l'ammettenza normalizzata $y_{L1}(0.2 \lambda)=1/z_{L1}(0.2 \lambda)$ vale $y_{L1}(0.2 \lambda)=0.65+\text{j}0.90$

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analogamente per l'altra ammettenza trovo $y_{L2}(0.4 \lambda)=1.40+\text{j}1.10$

L'ammettenza normalizzata totale alla sezione $\text{AA'}$ vale dunque

$y_{AA'}=y_{L1}(0.2 \lambda)+y_{L2}(0.4 \lambda)=2.05+\text{j}2.00$

mentre l'impedenza normalizzata totale (ottenuta sempre con la carta) è

$z_{AA'}=0.26-\text{j}0.23$

quindi concludo che il carico equivalente visto alla sezione $\text{AA'}$ è

$\boxed{Z_{AA'}=z_{AA'}Z_1=(19.50-\text{j}17.25) \, \Omega}$

Impedenza vista immediatamente a destra della sezione $\text{BB'}$

Qui si tratta di trasportare il precedente carico $Z_{AA'}$ alla nuova sezione $\text{BB'}$

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quindi, riapplicando sempre il solito procedimento per il trasporto di impedenza, trovo

$z(0)=Z_{AA'}/Z_0=0.39-\text{j}0.35$

$z(d_3^-)=0.34+\text{j}0.02$

$\boxed{Z_{BB'}=z(d_3^-)Z_0=(19.50+\text{j}1.00) \, \Omega}$

sono molto dubbioso riguardo questo risultato, però mi pare sia tutto corretto fino ad ora...

Adattamento

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Gli stub sono in parallelo, quindi, al fine di agevolare i calcoli, riporto il carico da adattare in ammettenza. L'ammettenza normalizzata del carico vale

$y_{BB'}=(3.00-\text{j}0.20)$

La distanza tra gli stub è di $\lambda/4$ . Al fine di ottenere l'adattamento, il primo stub (quello da porre alla sezione $\text{BB'}$ ) deve portare il punto Q (associato a $y_{BB'}$ ) sulla circonferenza a conduttanza unitaria ruotata in senso antiorario di mezzo giro.
Il punto individuato, Q', è quello che minimizzerà la lunghezza l_1

del primo stub.

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al punto Q è associata una suscettanza normalizzata di -0.20, mentre al punto Q' una suscettanza normalizzata di -0.50.

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il primo stub deve dunque realizzare una suscettanza

$b_{stub1}=b_{Q'}-b_{Q}=-0.5-(-0.2)=-0.3$

dunque la sua lunghezza vale

$\boxed{l_1=0.20\lambda=0.20 (1\, \text{m})=0.20 \text{m}}$

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Ora l'ammettenza vista alla sezione $\text{BB'}$ , data dal contributo del primo stub e il carico, vale

$y(d_3^+)=y_{BB'}+y_{stub1}=0.42-\text{j}0.50$

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il punto Q' è stato cercato sulla versione ruotata di 180° in senso antiorario della circonfernza g=1, quindi se adesso si trasporta l'ammettenza y(d_3^+)

verso il generatore per un tratto lungo $\lambda/4$ è naturale aspettarsi come risultato una ammettenza a suscettanza unitaria.

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Infatti si trova che $y(d_3^++\lambda/4)=1.00+\text{j}1.20$

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il secondo stub, quello da porre alla sezione $\text{AA'}$ , è deputato ad annullare la parte immaginaria dell'ammettenza che si sta vedendo alla sezione $\text{AA'}$ , quindi dovra avere una suscettanza pari a

$b_{stub2}=-\text{Im}[y(d_3^++\lambda/4)]=-1.2$

La sua lunghezza dovrà quindi essere

$\boxed{l_2=0.112\lambda=0.11(1\, \text{m})=0.11 \, \text{m}}$

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A questo punto l'esercizio è finito in quanto, nell'immediata sinistra della sezione $\text{AA'}$ si vede una ammettenza normalizzata pari a

$y_{AA'}=y(d_3^++\lambda/4)+y_{stub2}=1$

e, conseguentemente, una impedenza normalizzata unitaria

$z_{AA'}=1/y_{AA'}=1$

ossia si è nelle condizioni di adattamento.

Conclusioni - mi scuso per la lunghezza indecente del post, ho cercato di riportare (con un pessimo risultato) solamente i passaggi chiave dell'esercizio. Forse era preferibile splittare il thread in più parti.

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Linea di Trasmissione 2

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