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Salve ragazzi. Ho bisogno del vostro aiuto per capire il procedimento di risoluzione di questo esercizio riguardante le onde piane. Questo è il testo:

Il semispazio z<0 è riempito di dielettrico non dissipativo con ${\epsilon}_r = 4$ , il semispazio z>0 è il vuoto, ed un'onda elettromagnetica piana con vettore di propagazione $\vec k = 2\pi [\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ si propaga nel dielettrico.
Determinare la frequenza dell'onda e i vettori di propagazione delle onde riflesse e trasmesse. Inoltre, supponendo che l'onda sia polarizzata orizzontalmente, si determini il versore di polarizzazione ed il rapporto tra l'intensità del campo riflesso ed il campo incidente $| \frac{E_0^{rif}}{E_0^{inc}} |$ .

So che dovrei abbozzare una soluzione prima di ricevere il vostro aiuto, però in questo caso, siccome non so proprio da dove cominciare, vorrei tanto capire il procedimento più che ricevere una soluzione numerica. Da parte mia, ho provato a studiare un po di teoria ma con scarsi risultati :cry:

Suppongo ci siano svariate possibilita` per risolvere questo problema.

Ad esempio si possono scrivere le componenti di campo all'interfaccia, ricordando che le componenti tangenziali e perpendicolari ricordando quali fra D ed E si conservano e quali sono modificate dall dielettrico. Invece le componenti di B o H sono invariate.

Oppure passi alle linee equivalenti ne hai una per il modo TE una per il TM e vai di coefficienti di riflessione.

Suggerirei di fare una rotazione in modo da toglierti una componente ed allineare il vettore k al piano x-y. Ma questa e` solo una mia incapacita` di visualizzare i vettori nello spazio, se lo fai in modo algebrico non ci sono difficolta`.

Il problema potrebbe essere

ho provato a studiare un po di teoria ma con scarsi risultati

di teoria bisogna studiarne tanta :-)

e sapere anche che metodi hanno usato nel tuo corso. Che libro di testo seguite?

Intanto ti ringrazio per la risposta.

Che libro di testo seguite?

Durante l'anno ho seguito le lezioni del prof, inoltre ci ha suggerito di considerare una sorta di "appunti" di A. Freni, da cui credo prenda spunto.

..e sapere anche che metodi hanno usato nel tuo corso.

Riguardo il metodo da utilizzare credo bisogna far riferimento all'analogia onda piana/linea di trasmissione come suggerito negli appunti di Freni. In tal caso come dovrei pensare di agire?

Scomponi il campo incidente in parte TE e TM, per ciascuna scrivi la linea equivalente con relative impedenze caratteristiche. All'interfaccia hai una discontinuita` che riflette parte dell'onda incidente, e la parte TE e TM sono indipendenti fra di loro. Analogamente calcoli la parte trasmessa, con il coefficiente di trasmissione dopo la discontinuita`.

Ritorni dal mondo delle linee al mondo delle onde e hai la componente riflessa e quella trasmessa.

Se fai la rotazione come detto prima, vedi facilmente che l'onda piana incide con un angolo di 45 gradi sulla superficie di separazione, e con questo angolo calcoli le linee equivalenti. Anzi, essendo un TE (mi pare) probabilmente risparmi qualche conto.

IsidoroKZ potresti essere un po' più esplicito? Purtroppo non so neanche da dove cominciare :cry:

Non mi ricordo tanto bene queste cose

dovrei ricavarmi tutte le formule, non avendo un manuale sottomano. Pero` tu dovresti saperle, se studi la materia vedi che le trovi!

Allora tra gli appunti ho trovato due pagine piene di formule:
Polarizzazione Parallela
1. Campo Incidente : $\vec E^i=...$ , $\vec H^i=...$ ;
2. Campo Riflesso: $\vec E^r=...$ , $\vec H^r=...$ ;
3. Campo Trasmesso: $\vec E^t=...$ , $\vec H^t=...$ ;
4. Coefficiente di Riflessione Parallela: $\gamma_{||}=...$ ;
5. Coefficiente di Trasmissione Parallela: $\tau_{||}=...$ ;
da cui $\tau_{||}=1+ \gamma_{||}$
Polarizzazione perpendicolare
calcolo 4 e 5 perpendicolari.

Potresti consigliarmi qualche documento dove possa capire come funziona tutto sto casino?

Ragazzi vi prego ho bisogno del vostro aiuto! Potete dirmi come risolvere quel tipo di esercizi? Sto cercando di capire in tutti i modi come applicare la teoria alla pratica ma non riesco a venirne fuori in nessun modo :cry:

Se hai quelle formule vuol dire che usi un approccio geometrico, non a linee equivalenti. Negli appunti non avevi detto che c'erano le linee equivalenti?

Sai come e` rappresentata un'onda piana, il significato del vettore d'onda k? Dice poi che hai una polarizzazione orizzontale, quindi il campo e` TE, il campo elettrico incidente e` solo parallelo, mentre il campo magnetico ha anche una componente perpendicolare, che pero` non viene cambiata.

Come suggerimento generale, studia BENE la teoria, e dopo che hai studiato la teoria, ad ogni argomento fai gli esercizi. Ho l'impressione che quando vedi quelle due pagine piene di formule non capisca il significato di quelle formule, e quindi non riesca ad utilizzarle.

Ho risolto l'esercizio grazie al professore che è stato cosi gentile da aiutarmi più o meno a comprendere il modus operandi di questo tipo di esercizi. Vi scrivo qui la soluzione in caso qualcuno ne avesse bisogno:

Il vettore di propagazione dato nel testo è scritto nella forma $\vec k = k* [k_x,k_y,k_z]$ , dove $k = |\vec k|$ è il cosiddetto numero d'onda.

Per calcolare la frequenza dell'onda, sfrutto la formula $f = \frac{w}{2\pi}$ , dove $w = \frac {k}{\sqrt{\epsilon_r \epsilon_0 \mu_0}} = \frac {k*c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \pi c$ dove c= 3*10^8 m/s. Sostituendo nell'espressione di f ottengo $f = \frac{c}{2} = 150 M Hz$ .

poiché ci troviamo nel piano xy, avremo che z=0. Per definizione, trovandosi nello stesso mezzo dell'onda incidente, l'onda riflessa avrà lo stesso valore di $k=2\pi$ e le stesse componenti x e y dell'onda incidente (cosi come le avrà l'onda trasmessa: questo perché sulla superficie il campo elettrico è continuo). Ciò che varia è la componente z dell'onda riflessa e la calcoliamo cosi:
$k^2 = k_{rx}^2 + k_{ry}^2 + k_{rz}^2$ .
Essendo $k_{rx}= k_x$ e $k_{ry} = k_y$ , sostituendo i rispettivi valori, otteniamo
$k_{rz}^2 = 2 \pi^2 \rightarrow k_{rz} = \pm \frac {2\pi}{\sqrt{2}}$ .
In questo caso, scegliamo il valore negativo in quanto, se prendessimo il valore positivo, avremmo che l'onda riflessa coinciderebbe con l'onda incidente. Quindi il vettore di propagazione dell'onda riflessa sarà
$\vec k_r = 2\pi *[ \frac {1}{2} , \frac {1}{2}, - \frac{1}{\sqrt{2}}]$ .

poiché l'onda trasmessa si trova in un altro mezzo (il vuoto), avrà un diverso valore di k, dato da:
$k_t = k_0 = \frac {2 \pi f}{c} = \pi$ .
Analogamente per quanto fatto per l'onda riflessa, avremo che:
$k_t^2 = k_{tx}^2 + k_{ty}^2 + k_{tz}^2$ .
Essendo $k_{tx}= k_x$ e $k_{ty} = k_y$ , sostituendo i rispettivi valori, otteniamo
$k_{tz}^2 = - \pi^2 \rightarrow k_{tz} = \pm j \pi$ .
poiché la componente z del vettore di propagazione dell'onda trasmessa è un immaginario puro, questo comporta che non esiste un angolo reale di trasmissione, per cui si avrà il fenomeno della riflessione totale. Scrivendo l'espressione del campo elettrico dell'onda trasmessa, essa è del tipo $...* e^{- j k_{tz} z}* ...$ . Questo esponenziale deve tendere a 0, quindi scegliamo un valore di $k_{tz}$ negativo. Quindi il vettore di propagazione dell'onda trasmessa è:
$\vec k_t = [\pi, \pi, -j\pi] = \pi * [1, 1, -j]$ .

Il fatto che l'onda sia polarizzata orizzontalmente significa che il campo è parallelo alla superficie di separazione. Il suo versore di polarizzazione, dunque, sarà perpendicolare al piano di incidenza. Sappiamo che la componente z del versore è nulla; per calcolare le altre componenti, ci ricordiamo che il modulo di un versore deve essere pari a 1, e che, essendo perpendicolari, il prodotto scalare tra il versore e il vettore $\vec k$ deve essere nullo. Quindi indicando con $\vec v = [v_x , v_y , 0]$ il versore di polarizzazione avremo:
$\begin{cases} v_x^2 + v_y^2 =1\\ \frac{1}{2} * v_x + \frac{1}{2} * v_y = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} v_x = - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ v_y = \frac {1}{\sqrt{2}} \end{cases}$ . Quindi il vettore di polarizzazione sarà $\vec v = [- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac {1}{\sqrt{2}}, 0]$ .

Essendoci il fenomeno della riflessione totale, il rapporto tra l'intensità del campo riflesso e di quello incidente sarà pari a 1.

Se trovate qualche errore di calcolo o di spiegazione non esitate a dirmelo cosi potrò correggere

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Esercizio campi elettromagnetici

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