ElectroYou

Buongiorno ragazzi, volevo postarvi questo esercizio dove determino l'equazione differenziale lineare omogenea del circuito.

Volevo sapere se fosse stata determinata bene.

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1)Scrivo LKT alle due maglie fondamentali e LKC al nodo estremo superiore:
Maglia 1: vc(t)-vL(t)-vRs(t)=0

Maglia 2:

Nodo:

-->

2)Voglio scrivere l'equazione in funzione dell'incognita grandezza di stato vc(t) del condensatore, quindi a partire dalla lkt scritta alla maglia 1 e sostituendo le relazioni caratteristiche dei bipoli in quest'ultima, ottengo:

$vc(t)-L*\frac{\mathrm{d} iL(t)}{\mathrm{d} t}-Rs*i1(t)=0$

Sapendo che: i1(t)=-i2(t)-i3(t)

,

e sfruttando che vc(t)=vRu(t)

ottengo:
$LC\frac{\mathrm{d}^{2}vc(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+Rs*C\frac{\mathrm{d}vc(t) }{\mathrm{d} t}+(\frac{L}{RU}+\frac{RS}{RU}+1)vc(t)=0$

Vi trovate ? Grazie in anticipo.

Il coefficiente (L/RU+RS/RU+1) non va bene. Stai sommando un tempo a due valori adimensionati.

Scrivi molto bene le derivate con la d in tondo, non in corsivo! Lo fanno in pochi! Potresti migliorare la leggibilità usando anche i pedici, R_s, V_{R_S}.

Se usi meno nomi per le variabili, per esempio i1 che è uguale ad iL... fai meno passaggi e meno errori.

Ora sono sul tablet, appena riesco a mettere le mani su una tastiera vera, provo a raccontare come scrivo io queste equazioni.

Grazie per le dritte.
Aspetto la sua risposta.

Rifaccio e riposto poiché forse ho capito l'errore.

Ho mancato la derivata di un fattore.

Aggiustando, ottengo:
$LC\frac{\mathrm{d} ^{2}(v_c(t))}{\mathrm{d} t^{2}}+(R_sC+\frac{L}{R_u})\frac{\mathrm{d} (v_c(t))}{\mathrm{d} t}+(\frac{R_s}{R_u}+1)v_c(t)=0$

Sono andato di fretta, penso che sia giusto. Non so.

Adesso mi pare a posto.

Evviva! Ho una tastiera e un mouse a disposizione :-)

Per questo genere di problemi uso questo metodo per scrivere le equazioni differenziali.

Comincio con scrivere una equazione per ogni elemento reattivo, con la derivata di i per le induttanze e quella di v per i condensatori.

Le tensioni sui condensatori e le correnti attraverso gli induttori sono le variabili di stato, le variabili importanti, le nostre incognite "vere"

Qui ci sono solo due elementi reattivi, e` facile

$L\frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}= \text{tensione su L}$

$C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}=\text{corrente attraverso C}$

Poi scrivo i termini destri delle equazioni, usando solo le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori, ed eventualmente le sorgenti di ingresso (in questo caso non ci sono).

Il circuito e` questo, in cui ho eliminato tutte le grandezze ripetute e ridondanti.

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Nota che ho girato il verso della corrente su L in modo da usare le equazioni di L e C come utilizzatore (la corrente entra nel positivo).

La tensione ai capi dell'induttanza, il termine destro della prima equazione, la si ottiene con una KVL, scritta solo usando come variabili iL e vC vale quindi

$L\frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}=-R_si_L-v_C$

La corrente attraverso il condensatore la si trova con una KCL, sempre usando solo le stesse variabili di prima.

$C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}=i_L-\frac{v_C}{R_u}$

Eventualmente si possono spostare a destra i coefficienti delle derivate, in modo da avere a sinistra solo le derivate da sole

$\frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L}i_L-\frac{1}{L}v_C$

$\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}=\frac{1}{C}i_L-\frac{1}{R_uC}v_C$

Le ho scritte in "forma matriciale" pronte per essere messe ad esempio in matlab con la matrice dei coefficienti gia` ordinata.

Se invece devi risolvere a mano, usando solo vC, puoi cominciare ad eliminare iL (non la sua derivata) dalla prima eq. Oppure meglio, mentre scrivi il termine di destra dell'equazione in diL/dt non usi iL. Il risultato e` lo stesso

$L\frac{\text{d}i_L}{\text{d}t}=-R_s\left(C\frac{\text{d}v_C}{\text{d}t}+\frac{v_C}{R_u}\right)-v_C$

Poi si deriva la seconda equazione rispetto al tempo e sostituire la derivata di iL con il valore dato dalla prima equazione equazione che a questo punto contiene solo vC e la sua derivata.

Le trasformate di Laplace... un'altra volta :-)

Ho capito la metodologia che usi, molto scorrevole.
Grazie :ok:

ElectroYou

Circuito dinamico del secondo ordine - evoluz.libera

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