ElectroYou

Salve a tutti, mi servirebbe un chiarimento su questo esercizio, per farvi capire meglio, vi mostrerò tutti i passaggi che ho svolto... Grazie per l'attenzione!
L'esercizio è questo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Di fatto devo trovare due equazioni differenziali, una per quando il generatore va da 0 a 12V, e l'altra per quando torna da 12 a 0V.
Per quanto riguarda la prima equazione, abbiamo 3 casi:

*************************************caso I -> t<0

il circuito è a riposo, vc(0)=0 V

*************************************caso II -> t->t1 cioè t->0,003

in questo caso e0=12 V. il circuito è questo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

da cui deriva che vc(t1)= 12 V.

***********************************caso III -> 0<t<t1 cioè 0<t<0,003

con le leggi di Kirchhoff ricavo la seguente equazione differenziale:
$\frac{\mathrm{d^2} vc}{\mathrm{d} t^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}+\frac{1}{LC}vc=e0$

$\lambda _{1}=-0,17 s^{-1}$ e $\lambda _{2}=-2499,8 s^{-1}$

$\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}\left ( 0 \right )=0$ perché a t<0 il circuito è a riposo,quindi:

$\left\{\begin{matrix}K1 e^{\lambda _{1}\left ( t1 \right ) }+K2 e^{\lambda _{2}\left ( t1 \right ) }+12=0 & & & \\ \lambda _{1}K1 e^{\lambda _{1}\left ( t1 \right ) }+\lambda _{2}K2 e^{\lambda _{2}\left ( t1 \right ) }=0 & & & \end{matrix}\right.$
da cui:
$\left\{\begin{matrix}K1=-12,5 & & \\ K2=1,5 & & \end{matrix}\right.$

Quindi la soluzione di questa prima parte è:
$vc(0<t<t1)=-12,5 e^{-0,17t1}+1,5 e^{-2499,8t1}+12$ V

Passiamo quindi alla seconda parte dell'esercizio:

***************************************************caso I -> t<t1

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

vc(t1)= 12 V
$\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}=\frac{e0-vL-vc}{R}=\frac{12-12}{R}=0$

**************************************************caso II-> t->infinito

vc(infinito)=0 V

**************************************************caso III-> t>t1

$\frac{\mathrm{d^2} vc}{\mathrm{d} t^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}+\frac{1}{LC}vc=0$

$\left\{\begin{matrix}K1+K2=12 & & \\ \lambda _{1}K1+\lambda _{2}K2=0 & & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}K1=12 & & \\ K2=-8,2*10^{-4} & & \end{matrix}\right.$

da cui:
$vc(t)=12e^{-0,17t}-8,2*10^{-4}e^{-2499,8t}$

Questa è la soluzione della seconda parte.
La mia domanda è, l'esercizio è svolto in modo corretto?
(mi trovo con la seconda soluzione, ma con la prima no)
Quel "in ogni istante di tempo" vuol dire che come soluzioni devo riportare la prima e la seconda soluzione?

Mi sembra che tu l'abbia risolto in modo un po' confusionario.
Innanzitutto, dal tuo grafico, immagino che la terza condizione per e(t)

sia stata trascritta in modo errato. Sarebbe logico che le condizioni siano:
$e(t) = 0~\text{V}~\text{per}~t < 0$
$e(t) = 12~\text{V}~\text{per}~0<t<t_1$
$e(t) = 0~\text{V}~\text{per}~t>t_1$

Partiamo dal primo intervallo, ovver per t<0

, che hai già risolto, trovando che la tensione sul condensatore è nulla, ovvero $u_C(t)=0~\text{V per}~t<0$ .
$u_C(0)=0~\text{V}$ sarà la condizione iniziale per l'analisi del successivo intervallo.

Secondo intervallo. Devi ricavare l'espressione di u_C(t)

. Procedi in modo analogo: ricava l'equazione differenziale del circuito, tenendo presente che $e(t) = 12~\text{V}$ e trova le soluzioni. La condizione iniziale da applicare sarà $u_C(0)=0~\text{V}$ .
Una volta risolto questo passaggio, ricaverai una certa espressione per u_C(t)

.
Calcola quanto vale $u_C(t)=U_{C_1}$ in t=t_1

. Questa sarà la condizione iniziale per il prossimo passaggio.

Terzo intervallo. Devi ricavare l'espressione di u_C(t)

. Procedi in modo analogo: ricava l'equazione differenziale del circuito, tenendo presente che $e(t) = 0~\text{V}$ e trova le soluzioni. La condizione iniziale da applicare sarà $u_C(t_1)=U_{C_1}$ .

Ed hai finito.

La tensione del generatore proabilmente è a gradino.
Della funzione a tratti che hai scritto non mi torna
l'ultimo tratto:

per

dovrebbe essere

per

Questo ti ha portato fuori strada nei calcoli.

Per calcolare la derivata di vc, per utilizzarla come condizione iniziale, non mi basta solo vc (che ho calcolato precedentemente in t=t1). C'è nell'espressione anche vL. Come devo calcolare vL in t=t1?

p.s. Grazie per avermi fatto notare l'errore nella traccia, in effetti è proprio t>t1 e non t>0.

marymarymary ha scritto:Per calcolare la derivata di vc, per utilizzarla come condizione iniziale, non mi basta solo vc (che ho calcolato precedentemente in t=t1). C'è nell'espressione anche vL. Come devo calcolare vL in t=t1?

Invece ti basta u_c

. perché? perché tu arrivi a ricavare l'espressione di tale tensione al variare del tempo, non solo il suo valore in t_1

. Ovvero, dopo quell'analisi, conosci u_c(t)

, non solo u_c(t_1)

. La derivata la fai quindi analiticamente.

Se vuoi ricavare u_L(t)

non c'è alcuna ulteriore difficoltà, comunque. Quando ricavi u_c(t)

, ricavi anche la corrente i(t)

. E se hai l'espressione della corrente in funzione del tempo, la tensione sull'induttanza è immediatamente ricavata $u_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$

ok, allora:
per t<0:
vc=0 V
per 0<t<t1
le condizioni iniziali sono vc(0)=0V e $\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}(0)=0$ V
e la condizione particolare è vc=12 V.
la soluzione è:
$v_c(t)=-12e^{-0,17t}+8,2\cdot 10^{-4}e^{-2499,8t}+12$ V
calcolata in t=t1
$v_c(t1)=6,1\cdot 10^{-3}$ V
che è la mia condizione iniziale per il tempo t>t1

per t>t1
le condizioni iniziali sono $v_c(t1)=6,1\cdot 10^{-3}$ e $\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}(t)=-0,17(-12)e^{-0,17t}-2499,8(8,2\cdot 10^{-4})e^{-2499,8t}$
o meglio questa derivata, calcolata in t1(giusto?): $\frac{\mathrm{d} vc}{\mathrm{d} t}(t1)=2,04$ V
e la condizione particolare è vc=0 V.
la soluzione è:
$v_c(t)=6,9\cdot 10^{-3}e^{-0,17t}-8,16\cdot 10^{-4}e^{-2499,8t}$

E' corretto?
Come posso controllare se ho fatto bene?

marymarymary ha scritto:E' corretto?
Come posso controllare se ho fatto bene?

No il risultato non è corretto.
Devi arrivare a questo risultato per il tempo considerato
$0<t<t_{1}$
Corrente:
$i\left ( t \right )=0.425\left ( e^{-544t} -e^{-1956t}\right )$
Tensione:
$v_{C}\left ( t \right )=4.62e^{-1956t}-16.62e^{-544t}+12$

Da qui parti con il secondo tratto dopo aver calcolato le condizioni iniziali, ovvero sostituisci

nelle 2 espressioni con $t_{1}$

Ho notato di aver commesso un errore nella definizione dell'equazione omogenea associata. :lol:

Però risolvendo la nuova equazione ricado nel caso "delta minore di zero", risolvendo ancora ho notato che la soluzione risultante è diversa dalla tua.
Mi potresti spiegare gentilmente come hai ricavato gli esponenti (le lambda) della tua soluzione? :oops: