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Salve ragazzi ho un problema con il seguente esercizio.

Valuto prima il circuito per t<0

Per

il circuito è in regime stazionario e l'interruttore è chiuso quindi la tensione sull'induttore (che in regime stazionario posso considerare come un corto circuito ) è zero.

Per t>0

l'interruttore è aperto quindi

è in serie ad un c.a. ; in tal caso la resistenza equivalente vista da

è

quindi la costante tempo tau

è

ottengo quindi che $v(t)=K e^{-1,5x10^4 t} +Vlp$ .

Dove V_lp

è una soluzione particolare di

, che assumo come la soluzione di regime per t->inf

.

Anche in tal caso in regime stazionario L diventa un corto e quindi la tensione su L è nulla.

Per trovare K devo imporre la continuità della soluzione nell'origine, quindi v(0-)=v(0+)

ma essendo entrambe nulle certamente ho sbagliato qualcosa.

Dove ? Grazie mille

Prova in questo modo:

$i\left ( 0^{-} \right )=\frac{1}{2}\frac{E}{R_{1}+\left ( R_{2}\parallel R_{3} \right )}$
$i\left ( \infty \right )=\frac{E}{R_{1}+R_{3}}$
$i\left ( 0^{-} \right )=i\left ( 0^{+} \right )$
$\tau =\frac{L}{R_{1}+R_{3}}$
$i\left ( t \right )=i\left ( \infty \right )+\left ( i\left ( 0^{+} \right ) -i\left ( \infty \right )\right )e^{-\frac{t}{\tau }}$
$v\left ( t \right )=L\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}i\left ( t \right )$

Non mi è chiaro come hai ottenuto i(0-).

Il calcolo della corrente stazionaria è semplice.
In pratica hai la $R_{1}$ in serie con 2 resistenze in parallelo $R_{2}\parallel R_{3}$ .
Prova a ridurre il circuito e calcolati la corrente in una delle due resistenze.
Essendo le due resistenze di ugaul valore ho semplicemente diviso per 2.
Se non digerisci la derivata, la tensione sull'induttore la puoi calcolare in questo modo:
$v\left ( t \right )=\left ( R_{1}+R_{3} \right )\left ( i\left ( \infty \right )-i\left ( 0^{+} \right ) \right )e^{-\frac{t}{\tau }}$

Grazie mille ,l'ho risolto usando il tuo suggerimento iniziale trovando l'equazione generale di i(t)

per l'induttore ed infine sapendo che $v(t)=L\frac {di(t)}{dt}$ ottengo il risultato. :ok:

noisemake ha scritto:Per trovare K devo imporre la continuità della soluzione nell'origine, quindi ma essendo entrambe nulle certamente ho sbagliato qualcosa.
Dove ?

Hai sbagliato nel fare subito i conti sulla tensione, in particolare imponendo che la tensione ai capi di L sia una funzione continua. Solo le variabili di stato, tensione su un condensatore e corrente in un induttore, hanno un grafico continuo, le altre no. La tensione su un induttore e la corrente in un condensatore possono benissimo avere dei salti.

Se proprio vuoi scrivere direttamente la tensione ai capi di L, devi sapere il valore finale della tensione (che e` zero), la costante di tempo e la tensione a t=0+.

Per calcolare la tensione a t=0+ e` facile: sostituisci alla L un generatore di corrente di valore pari a i_L(0^-)

, poi la tensione iniziale vale la tensione E meno la caduta di tensione su R1 ed R3 in serie attraversate dalla corrente imposta dal generatore di corrente.

Formalizzando quanto scritto in [2] e [4], si può dire che in un circuito dinamico del primo ordine l'espressione da ricercare è sempre del tipo

$x(t) = [x(0) - x(\infty)] \cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau} \right) + x(\infty)$

Anziché scrivere tutte le equazioni differenziali, è possibile stabilire un metodo sistematico:

$i_L(0^-) = \frac{R_2}{R_2 + R_3} \cdot \frac{E}{R_1 + (R_2 \parallel R_3)} = 88 \, \text{mA}$

$x(0) = v_L(0) = E - i_L(0) \cdot (R_1 + R_3) = 88 \, \text{V}$

$x(\infty)$

$v_L(\infty) = 0 \, \text{V}$

$\tau$

$R_{eq} = R_1 + R_3 = 1500 \, \Omega$

$\tau = \frac{0.1 \, \text{H}}{1500 \, \Omega} = 66.7 \cdot 10^{-6} \text{s} = (1.5 \cdot 10^4)^{-1} \, \text{s}$

$v_L(t) = (88 - 0) \cdot \exp ( - 1.5 \cdot 10^4 \cdot t) + 0 \; \text{[V]} = 88 \cdot \exp (- 1.5 \cdot 10^4 \cdot t) \; \text{[V]}$

Il vantaggio di questo approccio è che non richiede alcuna risoluzione dell'equazione differenziale (si suppone l'espressione già nota). Ovviamente se bisogna calcolare v_C(t)

o

il passaggio 2 è superfluo (per la continuità delle suddette funzioni ho già il valore dal passaggio precedente), mentre se bisogna calcolare i_C(t)

o

il passaggio 4 è superfluo (sono nulle).

Nell'ultima espressione ho inserito le unità di misura in parentesi quadre, ma formalmente non è corretto :mrgreen:

gac ha scritto:Nell'ultima espressione ho inserito le unità di misura in parentesi quadre, ma formalmente non è corretto

Non è che non sia corretto, è proprio sbagliato! :-)

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Esercizio: Circuito Dinamico con Induttore

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