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Scrivo il seguente post , per avere dei chiarimenti in merito ad un esercizio che ho svolto durante l'esame di elettrotecnica e mi è stato valutato negativamente , posto di seguito la traccia .
Dato il seguente circuito :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$e(t)=\left\{\begin{matrix} -1 V & per & t< 0 \\ 1 V & per & t\geq 0 \end{matrix}\right.$

Per il circuito in figura , determinare l'intensità di corrente dell'induttore , $I_{L}^{}$ , per $-\infty < t< +\infty$

Svolgimento

Per t< 0

il circuito è in regime stazionario (poiché e(t)=-1 V

)

Quindi
il condensatore , C , si comporta come un circuito aperto
l'induttore , L , si comporta come un corto circuito

Ottenendo

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Notiamo che il ramo dove è presente la resistenza $R_{2}$ è stato cortocircuitato !
Possiamo adesso facilmente calcolare:

$I_{L}(t)=\frac{e(t)}{R}=\frac{-1}{10}=-0,1 A$

$V_{C}(t)=I_{L}(t)\cdot R=-1 V$

Per la continuità abbiamo che :

$I_{L}(0^{-})=I_{L}(0^{+})=-0.1 A$

$V_{C}(0^{-})=V_{C}(0^{+})=-1 V$

Per t>0

abbiamo :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Poiché abbiamo due bipoli dinamici , abbiamo un transitorio del secondo ordine , quindi data l'impossibilità di applicare Thevenin o Norton , si applica direttamente :

LKC : $I_{R1}(t)+I_{C}(t)=I_{R2}(t)+I_{L}(t)$ ai nodi A e B

Per LKT , consideriamo la seguente maglia :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

LKT : $e(t)=V_{L}(t)+V_{C}(t)$

Osserviamo che

$I_{R1}(t)=\frac{V_{C}(t)}{R1}$

$I_{R2}(t)=\frac{V_{L}(t)}{R2}$

Grazie a questa considerazione possiamo ottenere una nuova LKC (Ricordando che $R_{1}=R_{2}=R$ )

$\frac{V_{C}(t)}{R}+I_{C}(t)=\frac{V_{L}(t))}{R}+I_{L}(t)$

Adesso considero le equ. caratteristiche di C ed L e le sostituisco , quando posso , in LKC e LKT :

C $\Rightarrow$ $I_{C}(t)=C\frac{\mathrm{d} V_{C}(t)}{\mathrm{d} t}$

L $\Rightarrow$ $V_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d}I_{L}(t) }{\mathrm{d} t}$

Quindi diventano :

LKC $\Rightarrow$ $\frac{V_{C}(t)}{R}+C\frac{\mathrm{d} V_{C}(t))}{\mathrm{d} t}=\frac{L}{R}\frac{\mathrm{d} I_{L}(t)}{\mathrm{d} t}+I_{L}(t)$

LKT $\Rightarrow$ $V_{C}(t)=e(t)-L\frac{\mathrm{d} I_{L}(t)}{\mathrm{d} t}$ Ho considerato LKT in funzione di $V_{C}(t)$

Adesso sostituisco LKT in LKC !
(Salto i passaggi e giungo direttamente alla forma finale della nostra equ. differenziale del secondo ordine nell'incognita $I_{L}(t)$ ) :

$\frac{\mathrm{d^2}I_{L}(t) }{\mathrm{d} t^2}+\frac{2}{RC}\frac{\mathrm{d} I_{L}(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{I_{L}(t)}{LC}=\frac{e(t)}{RLC}$

Passo all'equazione dell'omogenea associata :

$\lambda ^2+ \frac{2}{RC}\lambda +\frac{1}{LC}=0$

CALCOLI :

$\frac{2}{RC}=2000$

$\frac{1}{LC}=2000\times 10^{3}$

$\lambda _{1}=-1000+1000j$

$\lambda _{1}=-1000-1000j$

Notiamo inoltre che $\Delta < 0$

La Soluzione generale sarà :

$I_{L}(t)=e^{\alpha t}[K_{1}cos(\beta t)+K_{2}sin(\beta t)]+I_{LP}(t)$

Con $I_{LP}(t)$ Termine a Regime

Calcoliamo proprio quest'ultimo , considerando che a regime il nostro circuito funziona a regime stazionario
( e(t)=1 V

)

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$I_{LP}(t)=\frac{e(t)}{R}=0,1 A$

Calcolo costanti $K_{1}$ e $K_{2}$ :
Per calcolarle basta considerare l'equ. di continuità della variabile di stato a t=0

K1: $I_{L}(0^-)=I_{L}(0^+)$

$-0,1=e^{\alpha \cdot 0}[K_{1}cos(\beta \cdot 0)+K_{2}sin(\beta \cdot 0)]+0,1$

ERRORE ! Qui ho posto $K_{1}=0$

Invece $K_{1}=-0,2$

K2: $\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^-)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^+)}{\mathrm{d} t}$

Qui c'è l'errore che mi Annulla l'esercizio !
Non ho capito perché ?!?! A fine post continuo con la considerazione...

continuo brevemente ..

Ricavo $\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^-)}{\mathrm{d} t}$ dall'ultima LKT ottenuta nei calcoli precedenti

$V_{C}(t)=e(t)-L\frac{\mathrm{d} I_{L}(t)}{\mathrm{d} t}$

$\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^-)}{\mathrm{d} t} = \frac{e(0^-)}{L}- \frac{V_{C}(0^-)}{L}=0$

Mentre per

$\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^+)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (e^{\alpha t}[K_{1}cos(\beta t)+K_{2}sin(\beta t)]+0.1)}{\mathrm{d} t}$

Evito i calcoli .. ed ottengo

$\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^+)}{\mathrm{d} t}=K_{1}\alpha + K_{2}\beta$

Infine :

$K_{1}\alpha + K_{2}\beta=0$ $\Rightarrow$ $K_{2}=\frac{K_{1}\alpha }{\beta }$

Alla fine per ottenere la soluzione finale basta sostituire tutti i valori ottenuti nella soluzione generale descritta prima !

(Ultimi risultati : $\alpha =\frac{\frac{2}{RC}}{2}$ e $\beta =\frac{\Delta }{2}$ )

volevo condividere con voi questo mio esercizio , perché non riesco a capire perché mi è stato annullato l'esercizio e rimediare a questa mia lacuna .
Volevo solamente sottolineare che questa tipologia di esercizio e svolgimenti simili sono stati studiati dai PDF online del prof. A. Maffucci "Esercitazioni di Elettrotecnica: Circuiti in evoluzione dinamica"

Spero non ci siano , errori di calcolo o imprecisioni dovuti alla trascrizione in LaTex e rappresentazioni di circuito tramite FidoCadJ .
Vi ringrazio per l'attenzione O_/

GiovanniKumi ha scritto:...
K2: $\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^-)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} I_{L}(0^+)}{\mathrm{d} t}$
Qui c'è l'errore che mi Annulla l'esercizio !
Non ho capito perché ?!?! A fine post continuo con la considerazione...

E lo credo che lo annulli.
Premesso che quella forma di scrittura è errata (in quanto sembra la derivata di valori costanti), con quella uguaglianza stai affermando la continuità della tensione ai morsetti dell'induttore.

Per la seconda condizione devi usare la continuità della tensione ai morsetti del condensatore $v_C(0^+)=v_C(0^-)=-1 \, \text{V}$ , e quindi, mentre la tensione $v_L(0^-)=0 \, \text{V}$ , la tensione $v_L(0^+)=e(0^+)-v_C(0^+)=1-(-1)=2 \, \text{V}$ .

BTW Quello indicato nello schema è il simbolo di un GIC non di un GIT. ;-)

Se posso poi darti un consiglio, evita di usare le frecce per indicare le tensioni, specie ai morsetti di un bipolo, usa i segni più e meno, così come hai fatto per il generatore.

Per la seconda condizione devi usare la continuità della tensione ai morsetti del condensatore e quindi, mentre la tensione , la tensione

Quindi in qualsiasi transitorio del secondo ordine , bisogna considerare una volta la continuità della corrente ai capi dell'induttore ed una volta la continuità della tensione ai capi del condensatore ?

Perché fino al giorno in cui ho sostenuto la prova orale , quando mi è stato consegnato anche il compito , non avevo mai messo in dubbio gli esercizi di riferimento

BTW Quello indicato nello schema è il simbolo di un GIC non di un GIT.
Se posso poi darti un consiglio, evita di usare le frecce per indicare le tensioni, specie ai morsetti di un bipolo, usa i segni più e meno, così come hai fatto per il generatore.

Ti ringrazio per la risposta e per il consiglio . Buona giornata

GiovanniKumi ha scritto:... Quindi in qualsiasi transitorio del secondo ordine , bisogna considerare una volta la continuità della corrente ai capi dell'induttore ed una volta la continuità della tensione ai capi del condensatore ?

Certo, o delle due correnti in due induttori, o delle tensioni su due condensatori.

GiovanniKumi ha scritto:... Perché fino al giorno in cui ho sostenuto la prova orale , quando mi è stato consegnato anche il compito , non avevo mai messo in dubbio gli esercizi di riferimento

Cosa intendi dire? ... che gli esercizi di riferimento operavano diversamente?

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Considerazioni esercizio transitorio

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