Circuito RLC sinusoidale

[Madara02]

Buonasera, nella speranza che qualcuno di voi mi possa aiutare, vi scrivo per quanto riguarda la risoluzione di un circuito del secondo ordine (vecchio esame universitario), su cui sto avendo diversi problemi e dubbi.

allego le foto di riferimento.
mi soffermo su t<0, poiché ho diversi dubbi:
dopo numerose prove, ho trattato induttore e condensatore come resistenze, quindi scrivendole come conduttanze, considerando come componente effettivo l'induttore (circuito chiuso).
Successivamente ho pensato di eliminare R4 perché è in serie ad un circuito aperto (non ne sono assolutamente sicuro, però, considerando anche R4 ho avuto comunque problemi),
Ogni consiglio è assolutamente ben accetto, ringrazio chiunque provi ad aiutarmi.

Allego il codice matlab di risoluzione:


R1=1;
R2=1;
R3=1;
R4=1;
L=1/5;
C=1/20;
g=2;

%t<0 nodi
G1=1/R1;
G2=1/R2;
G3=1/R3;
G4=1/R4;

%calcolo ig sinusoidale
valore= 100;
w=10;
fase=0;
Ig0=100;
ZL=1j*w*L;
ZC=(-1j)/(w*C);
YL=1/ZL;
YC=1/ZC;
%MG=[G1+G2+G3, -G1;
% -G1, G1];
%TN=[0; -Ig0];
%e=MG\TN
%Vc0=e(1)-e(2)
%Il0=e(1)* YL;

%MZ=[G1+G2+YC+YL, -G1-YC;
% -G1-YC, G1+YC];
MZ=[YC+YL+G1+G2,-YL, -YC-G1;
-YL, G3+YL, 0;
-YC-G1, 0, YC+G1 ];

TN=[0; 0; -Ig0];
e=MZ\TN
Vc0=e(1)-e(2)
Il0=e(1)*YL

Vc0=real(Vc0)
Il0=real(Il0)
%t>0
syms Vcs Ils Igs
MC=[G4+G2,-G4,0;
g,-g-1,0;
-1,0,1];
i=[Ils-Igs;0;-Vcs];
PN=MC\i

VR1=PN(1)-PN(3);
VR3=PN(2);
iR1=VR1*G1;
iR2=-PN(1)*G2;
iR4=(-PN(1)+PN(2))*G4;
%dvCdt=(iR1-iR2-iR4+Ils)/C
dvCdt=(iR1-Igs)/C
dvLdt=(VR1+VR3-Igs)/L

syms t x1(t) x2(t);
Il0=-30;
Vc0=-2.500;
Ig = 100*cos(w*t);
x=[x1(t); x2(t)];
g=[Ig];
A = [0,20;
5/2, 5];
B = [-20;
-15/2];
Dx = [diff(x1,t)== A(1,:)*x + B(1,:)*g,
diff(x2,t)== A(2,:)*x + B(2,:)*g];

cond_ini = [x1(0)==Vc0,
x2(0)==Il0];
S = dsolve(Dx,cond_ini);

vC = simplify(S.x1)
iL = simplify(S.x2)

[IsidoroKZ]

Ho solo letto il testo, non il codice, e a dire il vero non capisco neanche lo schema .
Dove i conduttori si incrociano, sono collegati o no? Nel primo schema hai messo dei pallini, perche' non ce li ha messi chi ha scritto il problema?

Trattare induttore e condensatore come resistenze non va ovviamente bene, si trattano come impedenze (poi ho visto che nel codice matlab hai messo j). Cosa voglia dire "componente effettivo l'induttore (circuito chiuso)" non lo capisco.

Come fa R4 ad essere in serie ad un circuito aperto? Non lo vedo. Come minimo e` in parallelo all'induttanza (ammesso che ci siano i pallini nei vari incroci dei fili). Se sei in modo light, a t=0- R4 e` in parallelo a un cortocircuito, altrimenti no.

All'esame potete usare matlab o dovete fare i conti a mano? Risolvere un sistema di equazioni complesse non e` una passeggiata!

[RenzoDF]

Oltre a quanto già osservato da IsidoroKZ, non capisco questa tua mania di scrivere direttamente un codice per Matlab, senza prima scrivere le normali semplici equazioni risolutive della rete.

Per t < 0, in versione standard, usando il metodo dei potenziali nodali: x,y,z

q1.png (63.59 KiB) Osservato 8196 volte

le KCL ai tre rispettivi nodi porteranno al seguente semplice sistema







e solo a questo punto, anche se non necessariamente, potrai farti aiutare da Matlab.

Codice: Seleziona tutto

syms x y z
eq1 =  3*x-y*(1- i /2)-z==0;
eq2 =  x*(1-i/2)-y*(2-i/2)+z==0;
eq3 =  x+y-2*z==-100
sol = solve([eq1 eq2 eq3], [x y z])

Il metodo dei potenziali nodali e quindi la soluzione di quel sistema non sono ovviamente l'unica via risolutiva anche se ricordo che è una delle tue preferite. Ne esistono molte altre e fra queste, vista la presenza di un solo generatore, direi sia preferibile la "via egizia".

La ricetta è la seguente: ipotizzata, per esempio, un "falsa" corrente in R4, verso destra, di 2 ampere, nell'induttore avremo, nello stesso verso, una corrente -j, in R3 2-j, in R2 4-j ed infine una falsa corrente Jf del GIC pari a -6+j2.

Il rapporto fra vero e falso sarà k=Jv/Jf=100/(-6+j2).

di conseguenza la vera corrente nell'induttore,



e, ovviamente, la tensione su C, determinabile già inizialmente, senza l'aiuto egizio,



In questo semplicissimo modo, abbiamo evitato di risolvere un noiosissimo sistema.

--------------------
Il metodo della falsa posizione potrai usarlo anche per t > 0, semplicemente aggiungendo il contributo del generatore dipendente a quanto già scritto per t < 0, al fine di determinare la componente a regime della iL(t). Per la componente transitoria ti basterà determinare la resistenza vista dall'induttore, per poi usare la condizione iniziale iL(0) nella determinazione del fattore moltiplicativo dell'esponenziale.
La tensione su C, sarà identica alla precedente in quanto la serie con un GIC implicherà sempre una condizione di regime.

[Madara02]

buonasera a voi, scusate se ho tardato a rispondere, comunque
rispondendo ad Isidoro:

Dove i conduttori si incrociano, sono collegati o no? Nel primo schema hai messo dei pallini, perche' non ce li ha messi chi ha scritto il problema?

Non so cosa intendi precisamente, il conduttore si collega nel punto 2 su S se fatto in modalità standard (scelta da me). I pallini che ho inserito è per evidenziare i nodi che ho trovato, è un compito d'esame e il professore vuole che facciamo tutto noi studenti. Mi rendo conto che può risultare abbastanza strano, anzi questo (forse) è uno degli esami più "chiari". Nel nostro dipartimento la situazione per elettrotecnica è un po' disastrosa, mi spiace essere stato poco chiaro.

Per "trattare induttori e condensatori come resistenze" intendevo dire trasformarli in impedenze usando queste due formule:


ed inserirle insieme alle resistenze nella matrice delle conduttanze "MG"
Ho alcuni esercizi svolti secondo questa procedura.


Per quanto riguarda R4 ammetto di essermi abbastanza confuso , sto cercando di capire meglio queste meccaniche, ovvero quando poter eliminare un componente o meno,
so che se un componente è in serie ad un circuito aperto, è considerabile nullo.
se un componente è in parallelo ad un circuito chiuso, è considerabile nullo.


rispondendo all'ultima domanda,
all'esame possiamo usare entrambe le cose, solitamente scrivo i miei calcoli su un foglio e trasporto tutto su matlab.
Come ho scritto sopra, la situazione è un po' particolare da noi, purtroppo non sono l'unico del mio corso con difficoltà.
Cerco di reperire materiale un po' ovunque, aiutandomi con alcuni colleghi
(con questo non voglio giustificarmi o accusare, sto solo spiegando una situazione)

[Madara02]

non capisco questa tua mania di scrivere direttamente un codice per Matlab, senza prima scrivere le normali semplici equazioni risolutive della rete.

Salve Renzo ,
Io scrivo prima delle equazioni , invio direttamente il "prodotto" finale, anche perché ho scritto "diverse versioni" della stessa matrice considerando o meno qualche componente (dato che non capivo l'errore).

Grazie per aver risposto, ma ammetto di non aver capito bene le equazioni che hai scritto. Più che altro, nel nostro corso sono state trattate solo due modalità di risoluzione.

Il metodo dei potenziali nodali e quindi la soluzione di quel sistema non sono ovviamente l'unica via risolutiva anche se ricordo che è una delle tue preferite.

mi ricollego a questo messaggio perché oltre ad avere assolutamente ragione , è anche il modo in cui vengono risolti i circuiti nel nostro corso (aggiungo anche il metodo delle correnti di maglia), considerati i "metodi sicuri".
Inoltre, alcuni colleghi hanno risolto molti esercizi e messi a disposizione di tutti gli altri usando i pot nodali o correnti di maglia, quindi mi baso su questi due.

ritornando alle equazioni, non capisco come le hai costruite, la "j" viene dalla corrente "falsa" su R4?
sperando che il prof accetti questa risoluzione, anche se sembra effettivamente molto meno noioso del metodo "classico" e più veloce.

In ogni caso scrivo cosa ho fatto io:
considerando l'unica matrice che non ho commentato nel codice

MZ=[YC+YL+G1+G2,-YL, -YC-G1;
-YL, G3+YL, 0;
-YC-G1, 0, YC+G1 ];

TN=[0; 0; -Ig0];

Ho considerato come nodi
e1 equivalente al tuo X
e2 equivalente al tuo Y
e3 al posto del nodo che hai posto come 0
e4=0, equivalente al tuo Z

e ho ottenuto




considerando:
e .

Comunque vi ringrazio per il vostro tempo e vi auguro una buona serata.

[GioArca67]

ritornando alle equazioni, non capisco come le hai costruite, la "j" viene dalla corrente "falsa" su R4?
sperando che il prof accetti questa risoluzione, anche se sembra effettivamente molto meno noioso del metodo "classico" e più veloce.

LTI: In generale sta per?

[RenzoDF]

... ammetto di non aver capito bene le equazioni che hai scritto. ...

Come già detto le ho scritte via KCL ai nodi, direttamente in forma numerica, evitando così l'inutile forma simbolica, che non fa altro che appesantire e aumentare la probabilità di errore.
Per quella al nodo sinistro, relativo al potenziale x, per esempio, ho scritto



che con una semplice semplificazione si riduce a

... ritornando alle equazioni, non capisco come le hai costruite, la "j" viene dalla corrente "falsa" su R4? ...

Parto da una "falsa" corrente su R4 pari a 2 ampere al fine di rendere semplice il rapporto con l'impedenza induttiva pari a j2, e quindi se su R4 circolano 2 ampere la tensione ai suoi morsetti sarà di 2 volt e la corrente nell'impedenza induttiva in parallelo a R4 sarà 2/(j2)=-j; ovviamente potevo scegliere un qualsiasi valore numerico invece di 2 ampere. Non faccio altro che usare ripetutamente la legge di Ohm e le leggi di Kirchhoff.

... sperando che il prof accetti questa risoluzione, ...

Lo spero davvero; io continuo a ritenere che, se il testo di un problema non impone un metodo risolutivo particolare, la soluzione, se corretta, deve sempre essere accettata, qualsiasi sia il metodo usato.

... In ogni caso scrivo cosa ho fatto io: ... e ho ottenuto ...

La prima equazione è errata, già per solo il fatto che i rami che insistono su quel nodo sono cinque, non quattro.

Una volta corretta e corretta la matrice, per la parte di codice relativa a t < 0, avrai

Codice: Seleziona tutto

MZ=[YC+YL+G1+G2+G4,-YL-G4, -YC-G1;
-YL-G4, G3+YL+G4, 0;
-YC-G1, 0, YC+G1 ];
TN=[0; 0; -Ig0];
e=MZ\TN
Vc0=e(1)-e(3)
Il0=(e(2)-e(1))*YL


Giusto una domanda: ma non è che puoi evitare la forma simbolica nella scrittura delle equazioni, visto che nel testo sono richieste solo le soluzioni numeriche del problema


--------------------------------------------------
Lascio a te correggere la restante parte del codice Matlab, ma ripeto: per questo problema possiamo tranquillamente fare a meno di scomodare Matlab in quanto è più che sufficiente Ahmes

La soluzione per poteva essere già inizialmente ottenuta per , semplicemente con un prodotto



mentre la soluzione per la , applicando per due volte la "falsa posizione":

i) la prima per , per determinarne il valore iniziale , come già spiegato



ne segue




ii) la seconda, per , inserendo anche il contributo del generatore dipendente, per ottenere la soluzione a regime



ed infine, indicando con I3 la corrente in R2, verso il basso



evitando anche le equazioni differenziali.

Poi chiaramente, per la costante di tempo dell'evoluzione transitoria, è necessario determinare la resistenza equivalente "vista" dall'induttore,

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

[Madara02]

LTI: In generale sta per?

ammetto che non ho familiarità con questa sigla e l'ho cercata, comunque sì, so che è collegata al principio di sovrapposizione o mi sbaglio?

Come già detto le ho scritte via KCL ai nodi, direttamente in forma numerica, evitando così l'inutile forma simbolica, che non fa altro che appesantire e aumentare la probabilità di errore.

in effetti sembra essere meglio così, anche se si tratta di abitudine. Comunque ho capito come hai scritto le KCL, ho "verificato" matematicamente.

Lo spero davvero; io continuo a ritenere che, se il testo di un problema non impone un metodo risolutivo particolare, la soluzione, se corretta, deve sempre essere accettata, qualsiasi sia il metodo usato.

Non saprei veramente, a dir la verità, per quanto mi piaccia la materia, spero di levarmela al più presto.
come ho scritto su, situazione particolare, ormai è da qualche mese che ci sbatto la testa.
La approfondirò sicuramente in futuro, o per conto mio oppure scegliendo una magistrale adatta.
Quindi continuo con ciò che ho di certo, unito ai vostri consigli.
Ti ringrazio comunque, scrivo questo metodo nei miei appunti.

La prima equazione è errata, già per solo il fatto che i rami che insistono su quel nodo sono cinque, non quattro.

è vero, grazie per la correzione, avevo dimenticato di riportare G4.

Giusto una domanda: ma non è che puoi evitare la forma simbolica nella scrittura delle equazioni, visto che nel testo sono richieste solo le soluzioni numeriche del problema

In realtà non c'è nessun obbligo, le scrivo simbolicamente solo per poter usare matlab secondo le procedure lasciate.

Lascio a te correggere la restante parte del codice Matlab

Ho notato degli errori nella mia matrice per t>0 e li ho corretti, ma credo che ci sia qualcosa di sbagliato, posso inviare i miei calcoli e cosa ho ottenuto?


Ho letto la risoluzione scritta sotto anche per t>0 ed in effetti sembra molto più facile come procedimento , credo di aver capito a grandi linee ma dovrei verificare meglio.
Ti ringrazio ancora

[RenzoDF]

... Ho notato degli errori nella mia matrice per t>0 e li ho corretti, ma credo che ci sia qualcosa di sbagliato, posso inviare i miei calcoli e cosa ho ottenuto?

Certo che sì.

[Madara02]

Ho considerato come nodi
e1 equivalente al tuo X
e2 equivalente al tuo Y
e3 al posto del nodo che hai posto come 0
e4=0, equivalente al tuo Z

Ho mantenuto questo schema, ho scelto e4=0 perché è uno dei due nodi che va a toccare il generatore controllato di corrente.
per t>0 pongo induttore, condensatore e generatore ind. di corrente, rispettivamente come
Ils, Vcs, Igs
ho ottenuto queste equazioni:




ho scritto le equazioni in "forma base" per spiegare meglio cosa ho fatto.
per quanto riguarda il generatore di corrente controllato, ho notato che occorreva sommare la grandezza di controllo alla conduttanza che toccava, in questo caso "g".
In poche parole pensavo che l'errore fosse qui.
Per quanto riguarda la gestione di Vcs, ho agito diversamente:
ho considerato il nodo che toccava il polo positivo (A) e negativo (B),
ho sommato gli elementi di B in A,
annullato B e inserito +1, -1 in base al polo positivo/negativo del generatore.
Scrivere direttamente l'equazione considerando solo il generatore, come mi avevi suggerito la scorsa volta, ho notato (e supposto) fosse solo nel caso in cui uno dei due nodi del generatore in analisi fosse posto uguale a zero (era il caso dello scorso esercizio), quindi ho proceduto nella maniera "classica".

In ogni caso ho ottenuto questa matrice:

MC=[G4+G2,-G4,0;
-G4+g, G3+G4-g, 0;
+1,0,-1];
i=[Ils-Igs;0;-Vcs];
PN=MC\i