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Ci sono quattro triangoli retti e un rettangolo.

Le aree 1, 2 e 3 valgono, rispettivamente, 5, 45 e 20.

Quanto vale l’area tratteggiata del rettangolo ABCD?



Ho cercato di risolverlo inserendo le relazioni fra area e lati dei triangoli rettangoli, e applicando t.Pitagora. Ma diventa troppo complicato da risolvere il sistema. Ho desistito. Provate a trovare una soluzione più semplice.

Direi 200.

E la soluzione è più che semplice.

Detta x la base del triangolo 1 (sinistro) la sua altezza sarà y=10/x, "scoprendo" poi quanti triangoli 1 ci stanno nel triangolo 2 e nel triangolo 3, calcolare l'area del rettangolo ABCD sarà banale.

MarcoD ha scritto:... Quanto vale l’area tratteggiata del rettangolo ABCD?...

La mia risposta era per l'intera area del rettangolo ABCD, in quanto non avevo visto quel "tratteggiata", ma se intendi riferirti alla parte del rettangolo interna al tratteggio in rosso, basterà una semplice differenza

A=200-45=155

L'angolo acuto dei triangoli è lo stesso per tutti quindi sfruttando la trigonometria
y3 ad esempio è uguale a d3/d2*y2, idem per y1 rispetto y2 o y3

e poi un sistema di dieci equazioni in dieci incognite.

x1*y1*0.5=5
x2*y2*0.5=45
x3*y3*0.5=20
d1=sqrt(x1*x1+y1*y1)
d2=sqrt(x2*x2+y2*y2)
d3=sqrt(x3*x3+y3*y3)
d1+d2+d3=sqrt((x1+x2+x3)*(x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)*(y1+y2+y3))
AreaABCD = (x2+x3)*(y1+y2)
AreaRossa = (y1+(y1+y2))*(x2+x3)*0.5
AreaABCD = AreaRossa + 45

Giusto per chiarire quanto intendevo dire: per il triangolo 1, base x e altezza 10/x, visto che nel triangolo 2 ci stanno 20/5=4 triangoli 1 e nel triangolo 3 ci stanno 45/5=9 triangoli 1, la base del rettangolo ABCD sarà 3x+2x=5x e l'altezza 40/x, l'area del rettangolo sarà quindi



e quella contornata dal tratteggio rosso 200-45=155.

per il triangolo 1, base x e altezza 10/x

Ma questa deduzione da dove arriva?

NoNickName ha scritto:... Ma questa deduzione da dove arriva?

Confesso che la provenienza originale non la conosco, ma la più antica che ricordo è presente nel problema 51 del RMP e nei problemi 4, 7 and 17 del MMP.

per il triangolo 1, base x e altezza 10/x

L'area del triangolo è 5
area = base x altezza /2
altezza = 2x area /base
se base = x , altezza = 2x 5/ x = 10/x.

Purtroppo per me il resto del ragionamento , (la base del rettangolo ABCD sarà 3x+2x=5x ), non l'ho ancora capito :

MarcoD ha scritto:Purtroppo per me il resto del ragionamento , (la base del rettangolo ABCD sarà 3x+2x=5x ), non l'ho ancora capito :

Scusa ma se l'area di un triangolo è n volte più grande di quella di un triangolo simile, quanto più lunghe saranno la sua base e la sua altezza?

MarcoD ha scritto:

per il triangolo 1, base x e altezza 10/x

se base = x , altezza = 2x 5/ x = 10/x.

Ed anche 9(x1y1)=x2y2
e 4(x1y1)=x3y3
e x1y1=10

vabbè ok, poi?