ElectroYou

Ciao a tutti,

premesso che ho cercato ovunque e non sono riuscito a trovare nulla a riguardo (o forse ho trovato,ma qualcosa non mi è chiaro e quindi non mi sono accorto di aver trovato la soluzione),vi pongo un esercizio nella speranza che possiate aiutarmi,premetto che l'esercizio deve essere svolto in forma algebrica e grafica o meglio senza l'utilizzo di calcolatrice o matlab o altri programmi,vecchia maniera carta e penna per intenderci.

Vi pongo il seguente problema:

Data una sequenza discreta:

$\ \ x(n)= 3 \ \ per \ \ 0 \le n \le 5$

calcolarne graficamente la FT e DFT (gentilmente vi chiederei di metterci la parte di calcoli così che io possa capire il procedimento)

Forse sarà anche una cosa banale ma non riesco a trovare un modo di uscirne,ho provato a applicare in modo brutale la definizione ma non arrivo da nessuna parte.

Le formule che uso sono le definizioni delle due trasformate che elenco in seguito:

$Trasformata \ di \ Fourier: \ X(e^{j \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j \omega n}$
$DFT: \ X(K) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j \frac{2 \pi}{N} n k} \ \ con \ 0 \le k \le N-1$

Vi prego di aiutarmi poiché sono veramente disperato.
Ringrazio in anticipo per il vostro aiuto.

macco ha scritto:premesso che ho cercato ovunque e non sono riuscito a trovare nulla a riguardo

Sicuro? In rete c'è veramente tanto materiale su cui studiare.

Quale è il valore di x(n)

per $n \geq 6$ ? 0
Quale è il numero di punti

?

Ho l'impressione che manchino alcuni dati. Ma forse mi sbaglio.

Questa è la rappresentazione grafica del segnale?

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

macco ha scritto:calcolarne graficamente la FT e DFT

Attenzione che la formula che hai postato è la DTFT (dominio discreto), non la FT (dominio continuo).

Ciao,si il grafico riportato rispecchia il mio segnale,per valori maggiori di 6 vale 0.

Mi sono espresso male nella richiesta poiché sto studiando segnali a tempo discreto e quindi devo valutare la trasformata di Fourier per segnali a tempo discreto.

Quello che ho capito correggimi se sbaglio è che la DFT è la DFS,solo che la DFS osservo che dopo aver effettuato un giro della circonferenza unitaria ritrovo i valori di prima,quindi il che mi dice che la DFS è periodica di periodo $2 \pi$ siccome i valori sono gli stessi dopo $2 \pi$ decido di porre una limitazione non solo su N come facevo nella DFS ma di porre una limitazione anche su k,così facendo ottengo la mia DFT che non è più periodica o meglio la rendo io non più periodica grazie alle limitazioni poste sugli indici.

Giusto? Se sbaglio qualcosa o sono poco chiaro correggetemi poiché ho bisogno di fare chiarezza.
Gentilmente mi potresti aiutare anche con l'esercizio?

Grazie.

macco ha scritto:Quello che ho capito correggimi se sbaglio è che la DFT è la DFS

Io preferisco nominarle con i nomi originali senza altri nomi altrimenti mi confondo... :oops:

FS, FT, DTFT, DFT.

macco ha scritto:decido di porre una limitazione non solo su N come facevo nella DFS ma di porre una limitazione anche su k,così facendo ottengo la mia DFT che non è più periodica o meglio la rendo io non più periodica grazie alle limitazioni poste sugli indici.

Non ho capito molto bene.
Ti riferisci al fatto di prendere in considerazione i risultati della DFT ottenuti nel rango

$0 \leq n \leq \left ( \frac{N}{2} + 1 \right )$

?

Allora per fare chiarezza,io considero solo segnali discreti,quindi intendo con:

FT trasformata di Fourier eseguita su una sequenza discreta.
TZ trasformata z discreta.
DFS serie di Fourier dicreta. (per sequenze periodiche)
DFT trasformata di Fourier discreta.

tu con che nomi chiami le cose che ho elencato? almeno ci intendiamo subito :mrgreen:

La mia DFT è limitata sia su n che su k,infatti se togliessi la limitazione su k ricadrei nuovamente nella DFS(quella che per me è DFS)

per togliere ogni dubbio gentilmente potresti risolvere passo passo l'esercizio almeno vedo cosa non mi è chiaro dello svolgimento e forse riesco a capire cosa mi è poco chiaro.

Grazie mille

macco ha scritto:per togliere ogni dubbio gentilmente potresti risolvere passo passo l'esercizio almeno vedo cosa non mi è chiaro dello svolgimento e forse riesco a capire cosa mi è poco chiaro

L'esercizio lo devi fare tu.

Io confronterei le due formule tra di loro:

$X(e^{\text{i}\omega n}) = \sum_{-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-\text{i}\omega n}$

$X(\omega_k) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x[n] e^{-\text{i} \frac{2\pi}{N}kn} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x[n] e^{-\text{i} \omega_kn}$

Esattamente, riesci a dire cosa non ti è chiaro?

allora come primo approccio io ho provato a fare il seguente ragionamento,il mio segnale è costante a 3 quindi vado a sostituire alla definizione i seguenti valori:

$X(e^{\text{i}\omega n}) = \sum_{0}^{5} \ 3 e^{-\text{j}\omega n}$

poiché il 3 non dipende dalla sommatoria lo porto fuori:

$X(e^{\text{i}\omega n}) = 3*\sum_{0}^{5} \ e^{-\text{j}\omega n}$

ora mi rimane da valutare la sommatoria,quindi andrei a sostituire i valori di n all'interno di $e^{-\text{j}\omega n}$ e ne effettuo la somma ossia:

$e^{-\text{j}\omega *0} + e^{-\text{j}\omega *1} + e^{-\text{j}\omega* 2} + e^{-\text{j}\omega *3} + e^{-\text{j}\omega *4} + e^{-\text{j}\omega *5}$

Ora mi ricordo che $e^{-\text{j}\omega n}$ può essere riscritto come somma di coseni e seni ossia:

$e^{-\text{j}\omega n} = \cos{(\omega n)}-\text{j}\sin{(\omega n)}$

quindi ottengo una somma di seni e coseni così fatta:

$\cos{(\omega *0)}-\text{j}\sin{(\omega *0)}$ $+\cos{(\omega *1)}-\text{j}\sin{(\omega *1)}+$ $\cos{(\omega *2)}-\text{j}\sin{(\omega *2)}$ $+\cos{(\omega *3)}-\text{j}\sin{(\omega *3)}$ $+\cos{(\omega *4)}-\text{j}\sin{(\omega *4)}$ $+\cos{(\omega *5)}-\text{j}\sin{(\omega *5)}$

Se fino a qui è tutto giusto,non so più come proseguire..qui mi blocco.
Se ho fatto errori o il mio ragionamento è totalmente sbagliato ti prego di aiutarmi.

Invece per quanto riguarda il calcolo della DFT andrei a eseguire lo stesso procedimento indicato precedentemente,però siccome ho che il mio risultato varia sia per il valore di k che per il valore di n mi verrebbe da dire che ottengo una matrice di risultati di dimensione N-1 righe e N-1 colonne dove n sono le righe e k le colonne.

Sbaglio?

Ti posto un paio di link utili.
http://www.sp4comm.org/webversion/livre.html#x1-440004
http://ingbeninato.xoom.it/ingmicro/Mat ... I_cap3.pdf

macco ha scritto:ottengo una matrice di risultati di dimensione N-1 righe e N-1 colonne dove n sono le righe e k le colonne.

Non ho capito bene il ragionamento.

Gli N output della DFT hanno indice 0 fino a N-1.

ElectroYou

Trasformata di Fourier e DFT

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