Densità spettrale di potenza

[GioArca67]

filtrare PB dico a caso fra F3 e F7. Il risultato in termini di potenza all'uscita del filtro sarà la sommatoria delle relative potenze?

Se hai delle sinusoidi, hai un segnale periodico e perciò applichi Parseval, Px = somma per n da F3 a F7 di Xn (con Xn coefficiente della serie di Fourier).

È quindi

Se si allora se ad esempio la densità fosse uniforme come nel caso del rumore bianco si tratta di moltiplicare intervallo frequenze per valore della densità (che comunque è l'integrale). Se però non è uniforme allora dovrei fare l'integrale.

per il tuo segnale periodico parli di spettro di potenza e non di spettro di densità di potenza (a volte detta densità spettrale di potenza).
Puoi anche calcolare uno spettro di densità di potenza per le tue sinusoidi, ma otterrai degli impulsi matematici. La cosa bella è che seppure di altezza infinita, quando l'impulso cade nel tuo intervallo di integrazione, l'integrale rimane finito e praticamente aggiungi l'area dell'impulso.

A sto punto però supponiamo che nell'esempio delle dieci frequenze le potenze siano tutte diverse (e se ricordo bene il rumore bianco ha la stessa potenza associata a tutte le frequenze) utilizzando lo stesso delta di frequenza ma applicato a diversi intervalli otterrò una potenza in uscita diversa da caso a caso.

Esatto

In tal caso cosa mi costruisce la funzione densità?

Che significa?

[EcoTan]

In tal caso cosa mi costruisce la funzione densità?

Da uno spettro discontinuo (cioè fatto di punti staccati) puoi ricavare al massimo una densità media su ampi intervalli, non una densità locale.

[Robi64]

Significa che per il rumore bianco mi risulta facile dire per ogni frequenza ho una densità che so (anche se non so come si è giunti a ciò) che è costante. Ma quale segnale ha una densità che è una curva, come faccio a definire quella curva? . L'esempio che ho fatto prima di un segnale che è somma di sinusoidi supponiamo che invece abbia uno spettro continuo ma con potenze che descrivono una curva diciamo una porzione di parabola da f1 a f10 che sarà il suo spettro di potenza. Di qui come faccio a definire una nuova curva che è la sua densità di potenza?
Come hai fatto a dire che

per il tuo segnale periodico parli di spettro di potenza e non di spettro di densità di potenza (a volte detta densità spettrale di potenza).
Puoi anche calcolare uno spettro di densità di potenza per le tue sinusoidi, ma otterrai degli impulsi matematici. La cosa bella è che seppure di altezza infinita, quando l'impulso cade nel tuo intervallo di integrazione, l'integrale rimane finito e praticamente aggiungi l'area dell'impulso.

ottengo degli impulsi matematici? Che operazione hai fatto?
Erano già degli impulsi nello spettro di potenza, perché rimangono tali anche nello spettro di densità di potenza?

[GioArca67]

Non passi da uno spettro di potenza ad uno spettro di densità di potenza con un'operazione. Sarebbe come dire: con quale operazione passo da una serie di Fourier ad una trasformata di Fourier?
Non è come passare da una massa ad una densità di massa... dividendo per il volume.

Serie e trasformata (di Fourier) si applicano ad oggetti con caratteristiche diverse.

La trasformata di Fourier non è definita per segnali periodici se non passando al limite ed usando impulsi matematici.

Nella realtà del mondo dove viviamo questo fatto ci Interessa poco, perché non esistono segnali periodici, come son definiti in un qualsiasi libro di teoria dei segnali.
Non viviamo all'infinito: il generatore di segnale periodico (l'oscillatore) viene acceso e poi spento per un tempo finito (1 ora, 1 giorno, 1 anno, ecc).
Quindi è come se avessi un sen(t) moltiplicato per una rect(t/T)
Moltiplicazione nel tempo corrisponde a convoluzione in frequenza, e quindi lo spettro del tuo segnale, che idealmente sarebbe un (irrealizzabile) impulso matematico, diventa una sinc(f) (=sen(x) /x).

L'impulso di cui parlo è il risultato della trasformata di Fourier di una sinusoide.
qual è la serie di Fourier di 7sen(wt) con w=314,15 rad/s
E la trasformata di Fourier del medesimo 7sen(wt)?

I coefficienti Xn della serie di Fourier non sono definiti per n pari a qualche frequenza (Hz), ma n è un indice, un numero puro appartenente agli interi.
Diversamente nella trasformata di Fourier hai una X(f) dove f è una frequenza. Ecco quindi che quando operi con la serie di Fourier parli di spettro di potenza (hai degli indici che identificano i vari elementi), mentre quando operi con la trasformata di Fourier parli di spettro di densità di potenza (la f è una frequenza ed hai rappresentata la potenza per unità di frequenza: parli allora di densità di potenza e quindi di spettro di densità di potenza).
Spettro sta semplicemente per.... "nel dominio di Fourier", indici o frequenze che siano.

[GioArca67]

Erano già degli impulsi nello spettro di potenza, perché rimangono tali anche nello spettro di densità di potenza?

Per niente.
Nello spettro di potenza non sono impulsi, sono valori X associati ad un indice n: Xn.

Anche se graficamente si rappresentano in modo simile il valore Xn e l'impulso in f=fo son molto diversi.

Nello spettro di densità di potenza ho delle "righe" verticali (impulsi matematici) in corrispondenza di ciascuna frequenza ove nel segnale x(t) è presente una sinusoide (infinita nel tempo) di quella frequenza.
Ricorda che la trasformata di Fourier è definita per segnali aperiodici.

Per cui se ho un segnale x(t) composto dalla somma di due sinusoidi aventi frequenza rispettivamente 10 e 15 Hz, nella serie di Fourier ho infiniti Xn che son tutti nulli ad eccezione di due soli indici n=2 e n=3, mentre nella trasformata ho tutto zero ad eccezione di 2 righe, una a 10 ed una a 15 Hz.

[Robi64]

ok
grazie per l'energia che hai speso (giusto per rimanere in tema )

[Robi64]

ti chiedo ancora un chiarimento, quando dici segnale periodico vs. aperiodico, l'esempio che facevo io è di un segnale periodico (quello delle 10 sinusoidi sa sommare)? Che siano 10 , 3, 1000, ecc essendo in numero finito sarà sempre periodico. Uno spettro che invece è continuo, per piccola che sia la banda sarà sempre aperiodico?
Poi non ho capito perché gli indici del tuo esempio sono proprio n=2 ed n=3 (quello con le due sinusoidi a 10khz e 15khz)

[EcoTan]

Uno spettro che invece è continuo, per piccola che sia la banda sarà sempre aperiodico?

Se il segnale è costituito da una somma di sinusoidi, ha un periodo pari al minimo comune multiplo dei singoli periodi (sbaglio?). Passa al limite nel caso che siano presenti tutte le frequenze entro un intervallo, ed avrai un periodo infinito cioè un segnale aperiodico. Però questi ragionamenti elementari lasciano il tempo che trovano. Nessun segnale aleatorio nasce da infinite sinusoidi infinitesime. Se vuoi andare avanti studia la teoria su un buon libro.

[Robi64]

e perché viene n=2 ed n=3?

[Etemenanki]

... Che cosa è lo spettro di un segnale?

E' il fantasma del segnale che rimane dopo che hai spento l'interruttore uccidendolo
(scusa, ma proprio non ho resistito )