Densità spettrale di potenza

[Robi64]

Corretto, hai ragione ho scritto troppo sbrigativamente. In effetti quando dico spettro di potenza, e comunque non spettro di densità di potenza, mi aspetto genericamente l'informazione della potenza del segnale per ogni frequenza della banda del segnale. Ma quanto vale quel dato non so esattamente cosa sia e l'ho definito erroneamente come il valore quadratico medio.
Forse potrebbe essere l'integrale del quadrato fra -T/2 e +T/2 diviso poi per T. Ma quel quadrato, sbaglierò, a mio modo di vedere non è quello del segnale ma della sinusoide con quella frequenza. Quella sinusoide è una di quelle che appartengono allo spettro (banda) e che quindi sommate alle altre compone il segnale.
Se ciò fosse vero (e per il momento oltre a questo non riesco ad andare) avrei l'informazione della potenza per una data frequenza che non sarebbe ancora la "densità".

[GioArca67]

La potenza risulta integrando fra -T/2 e +T/2 il quadrato del segnale ma poi divido il risultato per il periodo. L'energia è l'integrale fra -inf e +inf del quadrato del segnale ed è il conteggio dei joule usati.

Ok
Completando, per la potenza, col limite per T che va ad infinito di quel che hai detto.

Cerca di esprimere meglio la "mappatura".
qual è il tuo dubbio?
Se è da un passo di un libro o appunti perché non lo riporti integralmente?

Lo spettro di potenza e lo spettro di densità di potenza sono molto simili, ma il primo è solo per segnali periodici, l'altro per tutti i segnali di potenza (cioè per i quali la potenza come l'hai indicata esiste ed è finita) con l'accortezza di una rappresentazione speciale (impulsi matematici) per quelli periodici.

Tutti i segnali periodici sono di potenza, e puoi limitare l'integrale al periodo.
Tutti i segnali limitati in tempo non possono essere di potenza (non considero segnali con valori infiniti, non realizzabili), ma al più di energia (se sono quadraticamente integrabili).
Alcuni segnali non periodici sono di potenza.

[GioArca67]

Ma quel quadrato, sbaglierò, a mio modo di vedere non è quello del segnale ma della sinusoide con quella frequenza. Quella sinusoide è una di quelle che appartengono allo spettro (banda) e che quindi sommate alle altre compone il segnale.
Se ciò fosse vero (e per il momento oltre a questo non riesco ad andare) avrei l'informazione della potenza per una data frequenza che non sarebbe ancora la "densità".

Riguarda il teorema di Parseval.
Nelle definizioni di potenza hai il segnale al quadrato: |x(t)|² nell'integrale, e 1/T a moltiplicare... e il limite di tutto per T che va ad infinito.
Se prendi il teorema di Parseval hai la sommatoria degli
|Xn|² che sono i coefficienti della serie di Fourier del segnale (periodico) x(t).

Prova a fare i calcoli con una sinusoide tipo x(t)=Vm*sen(wt)

[Robi64]

Cerca di esprimere meglio la "mappatura".
qual è il tuo dubbio?
Se è da un passo di un libro o appunti perché non lo riporti integralmente?

Per ora rispondo a questi tuoi quesiti

Il mio dubbio in effetti è : se ho un grafico che mi dice la potenza per ogni frequenza, dal momento che per me la densità è un rapporto, cosa divido per cosa? Cioè mi confonde il fatto di avere una curva che mi da un valore di potenza associata ad una frequenza e poi divido questo per ... 1 Hz ..., 10Hz ...., 0,2 Hz ..... quanto?
Provo a fare un discorso un po diverso. Se voglio misurare la potenza ovvero per me la densità dei joule in una quantità di tempo ho dei sensori che già mi danno tale valore perché per esempio se misuro la torsione e conosco i giri al secondo (o quello che si preferisce) so la potenza. Dopo la integro e trovo l'energia in un certo periodo di tempo.
Nel caso dei segnali direi che lo scopo è capire, credo, di un certo segnale quali sono le componenti che danno maggior o minore contributo (detto male "forza", "importanza", "trascurabilità"..). Ma non me lo da già lo spettro di potenza, perché mi serve lo spettro della densità? Supponiamo che sia giusto che la potenza è già una densità, e va bene , rispetto all'unità di tempo, qual è il dignificato di densità di potenza anche se in questo caso è riferita all'unità di frequenza?
Comunque di fatto poi tutto è esprimibile con modelli, formule, e quindi qual è la formula che traccia questo nuovo grafico (la densità)?
Infine i testi che da cui parto sono le dispense/tesi/articoli che trovi in internet ma anche testi sacri tipo Hoppenheim (con i quali non riesco a chiarirmi questi concetti)

[Robi64]

Riguarda il teorema di Parseval.
Nelle definizioni di potenza hai il segnale al quadrato: |x(t)|² nell'integrale, e 1/T a moltiplicare... e il limite di tutto per T che va ad infinito.
Se prendi il teorema di Parseval hai la sommatoria degli
|Xn|² che sono i coefficienti della serie di Fourier del segnale (periodico) x(t).

Prova a fare i calcoli con una sinusoide tipo x(t)=Vm*sen(wt)

Credo che tu i stia chiedendo di fare l'integrale fra -Pigreco/omega e +Pigrego/omega per poi dividere per T. Poi il limite per T che va ad infinito , quindi omega che va a zero. Provo a farlo sicuramente (anche se mi sa che dovrò ristudiare qualcosa) ma preliminarmente il mio dubbio è : ottengo una potenza o una densita di potenza rispetto a cosa , all'unità di frequenza?

[Robi64]

mi viene in mente una domanda, e va bene ho uno spettro di densita di potenza, se lo moltiplico per es. 10hz, il risultato cosa mi indica?

[EcoTan]

probabilmente per costruire lo spettro di potenza applico dei filtri pb sulle varie frewuenze. Per cui a seconda di come e' fatto il filtro ottengo diversi risultati. Per normalizzare divido paer l'ampiezza di ba da del filtro

Come procedimento ideale è corretto.

[GioArca67]

mi viene in mente una domanda, e va bene ho uno spettro di densita di potenza, se lo moltiplico per es. 10hz, il risultato cosa mi indica?

Rileggi bene la risposta di banjoman, è inutile che riscrivo quanto già detto bene.

[GioArca67]

La densità spettrale di potenza (PSD) del segnale descrive la potenza presente nel segnale in funzione della frequenza, per unità di frequenza. La densità spettrale di potenza è comunemente espressa in unità SI di watt per hertz (abbreviato come W/Hz).

Questo dovrebbe colmare ogni dubbio

Il rumore ha uno spettro di potenza spettro di densità di potenza e, come ci si potrebbe aspettare, più ampio è lo spettro, più rumore si vedrà. Il modo più semplice per illustrarlo e' l'equazione del il rumore termico in un resistore:

dove k e' la costante di Boltzmann in joule per kelvin e T è la temperatura in kelvin. Δf è la larghezza di banda in Hz, cioe' la differenza tra la frequenza massima e quella minima.

Anche questo (ho solo precisato una nomenclatura che per un non addetto potrebbe portare confusione) dovrebbe ben chiarire i tuoi dubbi. Nota poi che banjoman ha s ritto non tanto lo spettro di densità di potenza, ma proprio la potenza in un determinato intervallo Δf.

Poiché per definizione lo spettro di densità di potenza esprime quanta potenza hai per unità di frequenza, sommando i vari contributi in un intervallo di frequenza hai la potenza (in watt) in tale intervallo.

Facciamo un'ulteriore precisazione, per la quale devi ricordare il concetto di integrale visto come una particolare somma di infiniti contributi elementari aventi altezza definita e larghezza infinitesimamente piccola.

Il rumore bianco è quel particolare rumore che ha lo spettro di densità di potenza uniforme, cioè ha la medesima altezza (in frequenza) per qualsiasi frequenza (supponiamo siano 2uW/Hz), in tal caso l'integrale si riduce a moltiplicare base per altezza...
Se questo rumore entra in un amplificatore che ha larghezza di banda da 10Hz a 100kHz (un tale amplificatore possiamo considerarlo in prima approssimazione "sordo" per frequenze oltre tale intervallo) allora avremo una potenza del rumore di 2uW/Hz * (100000-10)Hz = 2*99990 uW = 199980 uW=199,98 mW nella nostra banda di interesse, e che potremo paragonare alla potenza che ha il nostro segnale utile (che vorremmo amplificare) nel medesimo intervallo di frequenza.

[Robi64]

Forse sto cominciando a vedere la luce in fondo al tunnel. Aiutami ancora un momento
Ha un senso se dico quanto segue?
ho un segnale che è fatto dalla somma di 10 sinusoidi di ampiezza A1,..,A10 ed con frequenza F1,..,F10
Per ogni sinusoide posso calcolare la potenza P1,..,P10. Questo mi definisce lo spettro di potenza (non la densità). Supponiamo ad esempio che lo voglio filtrare PB dico a caso fra F3 e F7. Il risultato in termini di potenza all'uscita del filtro sarà la sommatoria delle relative potenze? Se si allora se ad esempio la densità fosse uniforme come nel caso del rumore bianco si tratta di moltiplicare intervallo frequenze per valore della densità (che comunque è l'integrale). Se però non è uniforme allora dovrei fare l'integrale.
A sto punto però supponiamo che nell'esempio delle dieci frequenze le potenze siano tutte diverse (e se ricordo bene il rumore bianco ha la stessa potenza associata a tutte le frequenze) utilizzando lo stesso delta di frequenza ma applicato a diversi intervalli otterrò una potenza in uscita diversa da caso a caso.
In tal caso cosa mi costruisce la funzione densità?