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Pallina matta

Problemi curiosi e quiz vari.

Moderatore: Foto Utentecarlomariamanenti

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[21] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentecarloc » 11 gen 2012, 0:50

Sì, si può fare un numero infinito si salti in tempo finito, dipende da quanto dura un salto, o meglio da come diminuisce il tempo di un salto in funzione del "numero" di salto...

il succo del problema è fare la somma di infiniti termini come questi, fermiamoci a N per ora..

s_\text{N}=1+a+a^2+\ldots+a^\text{N} notare bene che comunque per noi a=\sqrt{k} che è una quantità minore di uno (e maggiore di zero)

ora si prende quanto sopra e si moltiplica e divide per una stessa quantità presa a caso ;-) (ma diversa da zero)

s_\text{N}=\left(1+a+a^2+\ldots+a^\text{N}\right)\frac{1-a}{1-a}

moltiplicando a numeratore e semplificando tutto quello che fortunatamente si può si ha

s_\text{N}=\frac{1-a^{\text{N}+1}}{1-a}

allora questa è la formula per calcolare la somma dei primi N termini....ma se facciamo tendere N all'infinito

\text{N}\rightarrow\infty allora dato che 0<a<1 si ha che a^{\text{N}+1}\rightarrow 0

e la somma di tutti gli infiniti termini diventa

s=\frac{1}{1-a}

una quantità finita.

Questa naturalmente non è niente altro che la ben nota serie geometrica, sostituendo stà roba nelle formule della somma dei tempi si arriva a quanto scritto prima.

BTW si dovrebbe essere certi che la serie converga prima di usare quei "trucchetti" ma in questo caso funziona, fidatevi :D
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[22] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteCandy » 11 gen 2012, 1:20

Quindi avete trovato il modo di dire che un oggetto si può trovare in due punti diversi dello spazio in un tempo nullo.
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[23] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentecarloc » 11 gen 2012, 1:22

candy ha scritto:Quindi avete trovato il modo di dire che un oggetto si può trovare in due punti diversi dello spazio in un tempo nullo.


Scusami ma non ho capito a cosa ti riferisci :-M
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[24] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteCandy » 11 gen 2012, 14:01

Nell'ultimo istante di tempo t che costituisce il periodo finito di oscillazione, tempo nullo quindi, la pallina oscillando infinite volte si troverà ad essere in più parti dello spazio. Avete quindi trovato il modo di dire quanto già scrivevo.
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[25] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto Utentealev » 11 gen 2012, 14:18

candy ha scritto:la pallina oscillando infinite volte si troverà ad essere in più parti dello spazio

Ma, essendo nulla l'ampiezza dell'oscillazione, la pallina sarà sempre nello stesso punto dello spazio, ossia ferma.
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[26] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 11 gen 2012, 14:33

Dai, dai, una bella rissa sugli infinitesimi è quel che vuole! :mrgreen: :mrgreen:

Ciao
Piercarlo
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[27] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteCandy » 11 gen 2012, 20:03

Foto UtentePiercarlo, non ti mando da nessuna parte, ma è quello che ti meriteresti.
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[28] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 11 gen 2012, 20:18

candy ha scritto:Foto UtentePiercarlo, non ti mando da nessuna parte, ma è quello che ti meriteresti.


Perché? :D Io l'ho detta come battuta ma sugli infinitesimi ci si sono rotti la testa per secoli prima di riuscire ad "addomesticarli" con il concetto di limite - e vi si sono spesi per tutto il settecento e l'ottocento una lista di "testoni" di matematica lunga così! :-). Non mi ricordo bene tutta la storia ma credo che, assieme ai numeri immaginari, sia stato uno dei concetti più papabili per il trono di "matematica satanica" ai tempi che furono! :-P

E in ogni caso è ancora oggi un concetto che per essere digerito bene (per bene intendo: non solo ad "usum examen") ci vuole il suo tempo... Io un po' ci speravo in una "rissa" :mrgreen: perché avrebbe offerto l'occasione di chiarire le idee a me (e magari anche a qualcun altro) non dico su tutta ma almeno su un buon pezzo della faccenda! :-).

Ciao
Piercarlo
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[29] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteCox » 11 gen 2012, 20:33

Le palle si fermano sempre.
Solo se c'è in giro mia moglie si innesca il moto perpetuo !!!!
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[30] Re: Pallina matta

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 11 gen 2012, 22:10

Piercarlo ha scritto: Io l'ho detta come battuta ma sugli infinitesimi ci si sono rotti la testa per secoli prima di riuscire ad "addomesticarli"


Diciamo che l'introduzione del concetto di limite in matematica ha permesso di evitare di parlare di infinitesimi (un bel giro di parole!). La matematica moderna li hai poi recuperati nel campo della cosiddetta analisi non-standard dove vengono definiti dei numeri iperreali che possono essere infinitesimi, cioè minori di qualunque numero reale ma strettamente maggiori di zero. Questo dovrebbe permettere di riconciliare i due acerrimi nemici dell'analisi, Newton e Leibniz. Gli iperreali però non li ho mai studiati e non vi so dire di più.

Il libro classico sulla storia del calcolo differenziale e sulla diatriba Leibniz-Newton è

C. B. Boyer, The history of calculus and its conceptual development, Dover Publications Inc., 1959

Piercarlo ha scritto: Io un po' ci speravo in una "rissa" :mrgreen: perché avrebbe offerto l'occasione di chiarire le idee a me (e magari anche a qualcun altro) non dico su tutta ma almeno su un buon pezzo della faccenda! :-)


Il trucco principale lo ha ben illustrato Foto Utentecarloc ed è quello di considerare sempre un numero finito di rimbalzi. Un modo per vedere che la pallina si ferma in un tempo finito senza introdurre il concetto di limite potrebbe essere questo: come dimostrato da Foto Utentecarloc, la somma dei tempi di N rimbalzi è proporzionale a

s_N=\frac{1-a^{N+1}}{1-a}

dove a<1. L'equazione sopra può essere riscritta come

s_N=\frac{1}{1-a}-\frac{a^{N+1}}{1-a}

Poiché 0<a<1, si ha

s_N<\frac{1}{1-a}

qualunque sia il numero di rimbalzi, e questo implica che la pallina non può rimbalzare per un tempo infinito.
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