ElectroYou

Ecco un quiz semplice semplice per gli "analisti" di ElectroYou :-)

daccio76 sul ponte di Wheatstone c'è un grafico della funzione

$f(\alpha) = \frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}$

Questa funzione possiede un'interessante proprietà: se ad $\alpha$ sostituiamo $1/\alpha$ riotteniamo la stessa funzione, ovvero

$f(\alpha) = f(1/\alpha)\quad\quad (1)$

Ecco allora il quiz: assumendo $\alpha > 0$ , dimostrare che il grafico di una qualunque funzione $f(\alpha)$ che goda della proprietà (1), quando la scala di $\alpha$ è logaritmica, è simmetrico rispetto all'asse $\alpha = 1$ .

Nel caso specifico, il grafico viene così:

: curva.jpg (13.85 KiB) Osservato 4333 volte

Nota: è più lunga l'esposizione del problema della sua soluzione ;-)

Eh si è facile

Volendo rappresentare la funzione con $\alpha$ logaritmico la (1) diventa

$f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )$

ma per le proprietà dei logaritmi:

$log\frac{1}{\alpha}=-log\alpha$

quindi

$f\left ( log\alpha \right )=f\left ( -log\alpha)$

che esprime la simmetria rispetto all'asse 1 in scala logaritmica.

Sbagliato

perché?

Perché se

$f(\alpha) = f(1/\alpha)$

NON è vero che

cronos80 ha scritto: $f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )$

Verificalo sulla funzione data ;-)

Per valori reali una funzione è pari (simmetrica rispetto all'asse delle ordinate) se:

f(x) = f(-x)

dalla proprietà data:

$f(\alpha) = f(1/\alpha)$

con le ascisse logaritmiche $\alpha > 0$ :

$f(\log(\alpha)) = f(\log(1/\alpha))$
$f(\log(\alpha)) = f(\log(1) - \log(\alpha))$
$f(\log(\alpha)) = f(-\log(\alpha))$

con la sostituzione $x = \log(\alpha)$

f(x) = f(-x)

c.v.d.

Come in [2], ci sono passaggi giusti e passaggi sbagliati ;-)

Come ho scritto in [5]

xyz ha scritto:dalla proprietà data:

$f(\alpha) = f(1/\alpha)$

non si può dedurre

xyz ha scritto: $f(\log(\alpha)) = f(-\log(\alpha))$

Per esempio:

$f(\alpha) = \frac{\alpha}{(1+\alpha)^2}$

$f(\log\alpha)$ è la funzione che si ottiene sostituendo nell'argomento di

il termine $\log\alpha$ ad $\alpha$ , quindi

$f(\log\alpha) = \frac{\log\alpha}{(1+\log\alpha)^2}$

e

$f(\log(1/\alpha)) = f(-\log\alpha) = \frac{-\log\alpha}{(1-\log\alpha)^2}$

Quindi

$f(\log\alpha)\neq f(\log(1/\alpha))$

Mi verrebbe da rispondere così:

se $\alpha =10^{x }$ , allora $f(\alpha )$ è una funzione composta del tipo f(g(x))

con $g(x)=10^{x}$ ;

siccome $g(-x)=\frac{1}{g(x)}$ , se vale la (1) è:

$f(g(-x))=f\left ( \frac{1}{g(x)} \right )=f(g(x))$ ,

cioè f(g(x))

è pari, cioè simmetrica rispetto ad x=0

che corrisponde ad $\alpha =10^{0}=1$ .

Può funzionare?

DirtyDeeds ha scritto:NON è vero che

cronos80 ha scritto: $f\left ( log\alpha \right )=f\left ( log\frac{1}{\alpha }\right )$

Ok giusto. Si aggira facilmente il problema.
Se effettuiamo un cambio di variabile $\beta= log\alpha$ allora siccome $\beta>0$ possiamo dire di nuovo che:
$f\left ( \beta \right )=f\left ( \frac{1}{\beta}\right )$
Ma: $\frac{1}{\beta}= \frac{1}{log\alpha }=(log\alpha)^{-1}=-log\alpha=-\beta$

Si torna quindi alla condizione di simmetria:
$f\left ( \beta \right )=f\left ( -\beta} )$

Giusto?