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calcolo coefficienti serie di Fourier

teoria dei segnali, elaborazione, trasformate Z, Fourier, segnali caratterizzati da processi e variabli aleatorie, stimatori, DSP

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[1] calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteSling » 7 mar 2018, 23:44

Salve a tutti!
Sto iniziando a studiare per l'esame di segnali e mi sono imbattuto nel seguente esercizio che richiede di calcolare i coefficienti della serie di fourier del seguente segnale periodico:



Il segnale l'ho definito come: \sum_{k=-\infty}^\infty x(t-k T_0) dove

x(t)=\begin{cases} \frac{A}{T} t & \mbox{se } -T<t<T \\ 0 & \mbox{altrove }\end{cases}

Per calcolare i coefficienti, essendo la funzione dispari ho usato la formula semplificata:

X_k = -j \frac{2}{T_o} \int_{0}^{ \frac{T_o}{2}} x(t) \sin(2 \pi k \frac{t}{T_0}) dx

quindi ho che (per k\ne 0):

X_k = -j \frac{2 A}{T T_o} \int_{0}^{ T} t \sin(2 \pi k \frac{t}{T_0}) dx = -j \frac{A T_0}{2 \pi^2 k^2 T}[ \sin(2 \pi k \frac{T}{T_0})- 2 \pi k \frac{T}{T_0} \cos(2 \pi k \frac{T}{T_0})]

Il problema è che questo risultato è abbastanza sospetto. Di solito i coefficienti risultano un po' più semplici quindi immagino di aver fatto qualche errore di impostazione del problema, oppure mi sono perso qualche utile semplificazione. Il calcolo dell'integrale l'ho controllato con Wolfram e pare sia corretto.
Spero possiate aiutarmi a chiarire!
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[2] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteIanero » 8 mar 2018, 10:01

Non ho controllato i calcoli, ma comunque è normale che i coefficienti non si semplifichino poiché nel tuo caso il periodo della funzione non è uguale all'intervallo di integrazione (intervallo in cui essa risulta non nulla).
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
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[3] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteExodus » 9 mar 2018, 11:39

Sling ha scritto:
Per calcolare i coefficienti, essendo la funzione dispari ho usato la formula semplificata:

X_k = -j \frac{2}{T_o} \int_{0}^{ \frac{T_o}{2}} x(t) \sin(2 \pi k \frac{t}{T_0}) dx


Forse intendevi questo ?

\beta _{k}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{\frac{T_{0}}{2}}x\left ( t \right )sin\left ( k\omega t \right )dt

:ok:
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[4] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteSling » 9 mar 2018, 19:10

Grazie ad entrambi per le risposte!
(Ho notato solo ora che ho sbagliato a scrivere il differenziale degli integrali: ho scritto dx invece di dt :oops: )
Comunque posso chiederti dove hai preso quella formula?
La formula che ho indicato io l'ho trovata sul libro "Teoria dei segnali" di M. Luise, G. M. Vitetta che riporta la formula che ho indicato prima per segnali reali e dispari. Inoltre dice che il coefficiente X_k è una funzione dispari di k (ossia X_k = -X_{-k}) e quindi è puramente immaginario. il che è coerente con la formula che ho postato prima.
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[5] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteExodus » 9 mar 2018, 19:25

Sling ha scritto:Comunque posso chiederti dove hai preso quella formula?

Niente di speciale, è solo la forma trigonometrica.
Come sai le armoniche le puoi esprimere sia con l'esponenziale complesso,sia in forma trigonometrica oppure nella forma ampiezza e fase.
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[6] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteSling » 9 mar 2018, 23:16

Cosa intendi per forma ampiezza e fase?
forse il fatto che essendo il termine X_k, essendo un numero complesso, si può scrivere come X_k = |X_k| e^{j arg(X_k)} e quindi lo sviluppo in serie di fourier di x(t) può essere scritto come:

\sum_{k-\infty}^\infty |X_k| e^{j [2 \pi k f_0 t + arg(X_k)]}

ossia come somma di fasori di frequenza k f_o, ampiezza |X_k| e fase arg(X_k)?
Non so se intendesi questo ma comunque la si scriva sono tutte versioni equivalenti. Alla fine, comunque la calcoli, il risultato dovrebbe essere lo stesso, no?
Quello che ho trovato all'inizio è sbagliato?
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[7] Re: calcolo coefficienti serie di Fourier

Messaggioda Foto UtenteSling » 12 mar 2018, 11:54

Dunque, proseguendo nello studio ho trovato un intricatissimo modo per verificare i miei calcoli iniziali :D
Essendo il segnale di partenza (che da ora in poi chiamerò x(t)) una ripetizione periodica di periodo T_0 del segnale y(t) = \frac{A}{T} t\; rect\left(\frac{t}{2T}\right):



Posso applicare una nota proprietà della trasformata di fourier:
Dal segnale non periodico y(t) mi ricavo la trasformata Y(f), poi applico la proprietà:

X_k=\frac{1}{T_0} Y\left(\frac{k}{T_0}\right)\qquad (*)

Se il risultato coincide con quello trovato prima allora i conti che avevo fatto sono giusti.
Per calcolare la trasformata di y(t) uso le proprietà di derivata e integrale:

La derivata di y(t) è

z(t) = \frac{d}{dx}\left(\frac{A}{T} t\; rect\left(\frac{t}{2T} \right) \right) = \frac{A}{T} \; rect\left(\frac{t}{2T}\right)+A \left[ -\delta(t+T)-\delta(t-T) \right]



La trasformata di z(t) è:

Z(f) = 2A \; sinc(2 f T)-2A cos(2 \pi f T) per la proprietà dell'integrale:

Y(f) = \frac{Z(f)}{j 2 \pi f} = \frac{2A}{j 2 \pi f} \left[ sinc(2 f T)- cos(2 \pi f T)\right]

Applicando ora la proprietà (*) si ha:

X_k = \frac{2A}{j 2 \pi k} \left[ sinc \left(2 k \frac{T}{T_o} \right)- cos\left(2 \pi k \frac{T}{T_o}\right)\right]

Massaggiando opportunamente questa equazione si ottiene esattamente l'equazione di X_k che avevo trovato nel primo post. O_/
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