ElectroYou

Buonasera,
Stavo provando a risolvere un esercizio in cui veniva chiesto di calcolare la trasformata z di questa funzione

$a(n)=2^{|n-3|}$

Io ho provato a ragionare in questo modo

$\left\{\begin{matrix} se & n>3 & 2^{n-3} \\ se & n<3 & 2^{3-n} \end{matrix}\right. \$

Per ottenere la z-trasformata ho fatto
$Z[a(n)\cdot u(n))]=Z_u[a(n)]=\sum_{n=0}^{3}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n}$

Ora la prima serie è una serie finita di termini per cui li ho sviluppati e la seconda serie l'ho ricondotta ad una serie di potenze... ho scritto

$8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{z}{(z-2)8}$

ottenendo

$\frac{-16-24 z-48 z^2-96 z^3+65 z^4}{8 (-2+z) z^3}$

Il problema è che non mi trovo con il risultato che mi da wolfram in quanto

$\frac{8 z^3-12 z^2-6 z-3}{(z-2) z^2}$

Io penso di aver sbagliato con la serie finita perché il problema mi nasce con quel $\frac{1}{x^3}$ che mi altera l'espressione. Ho provato anche ad escludere quell'elemento ma comunque non mi trovo...
Ora risolvere un esercizio a tentativi non è proprio il massimo della vita, vorrei capire cosa sbaglio

Vi ringrazio in anticipo per ogni aiuto! :)

Innanzitutto dovresti specificare se la trasfomata Z è da considerarsi unilatera oppure bilatera.

Anche ammettendo di calcolare quella unilatera non mi tornano le seguenti cose :

Vibia ha scritto:Io ho provato a ragionare in questo modo

$\left\{\begin{matrix} se & n>3 & 2^{n-3} \\ se & n<3 & 2^{3-n} \end{matrix}\right$

Per ottenere la z-trasformata ho fatto
$Z[a(n)\cdot u(n))]=Z_u[a(n)]=\sum_{n=0}^{3}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n}$

1) Per

nella definizione non è ben posta.
2) Viene considerata due volte nella sommatoria in fondo.

Riconsidera la definizione iniziale.

Ciao grazie per la risposta...
Purtroppo non riesco a capire come risolvere il problema perché anche se considero

$\sum_{n=0}^{2}2^{3-n}z^{-n} + \sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n}$

Il problema è che secondo me sbaglio proprio ad applicare il concetto di trasformata...

Vibia, non penso che il problema sia nell'applicazione del concetto di Z-trasformata piuttosto in un errore di calcolo.

Consideriamo la Z-trasformata unilatera del segnale discreto.

$G(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} 2^{|n-3|}z^{-n} = 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+\sum_{n=3}^{+\infty} 2^{n-3}z^{-n}$

A questo punto pongo m=n-3

$G(z)=8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+\sum_{m=3}^{+\infty} 2^{m}z^{-m-3}=8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2}+z^{-3} \sum_{m=0}^{+\infty} \left( \frac{2}{z} \right) ^{m}= 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2} +z^{-3} \frac{1}{1 - \frac{2}{z} }$

da cui si ha :
$G(z) = 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2} +\frac{1}{z^3} \frac{z}{z - 2 } = 8+\frac{4}{z}+\frac{2}{z^2} +\frac{1}{z^2} \frac{1}{z - 2 }$

Ricavando il minimo comune multiplo si ha :

$G(z) = \frac{ 8 z^2 ( z - 2 ) + 4 z ( z - 2 ) + 2( z - 2 ) + 1 }{z^2 ( z - 2 )}$

Che sviluppato fornisce la seguente espressione :

$G(z) = \frac{ 8 z^3 - 16 z^2 + 4 z^2 - 8z + 2 z - 4 + 1 }{z^2 ( z - 2 )}$

Ovvero
$G(z) = \frac{ 8 z^3 - 12 z^2 - 6z - 3 }{z^2 ( z - 2 )}$

Che è la medesima calcolata da Wolfram Alpha.

Grazie mille adesso ho capito dove sbagliavo!

Mi sono imbattuto sulla trasformata Z di questa successione e ho provato a risolvere l'esercizio solo che non riesco a risolvere la serie...

$n^{\frac{1+(-1)^n}{2}}$

Allora ho pensato di scriverne i valori al variare di n per poter dedurre qualcosa da mette nella serie e trasformare

$\begin{matrix} n=0 & 0\\ n=1 & 1\\ n=2 & 2\\ n=3 & 1\\ n=4 & 4\\ n=5 & 1 \end{matrix}$

Quindi ho dedotto che

$\left\{\begin{matrix} n & pari &&& n \\ n & dispari &&& 1 \end{matrix}\right.$

Però adesso non riesco a scrivere la serie perché provo a scrivere
$\sum_{n=0}^{+\infty} z^{2n-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} nz^{2n}$

Adesso qui mi blocco perché quell' n non so come trattarlo...ovviamente sempre ammesso che non stia sbagliando a scrivere la serie...
grazie in anticipo per l'aiuto

Poni

e usa la relazione

$\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$

Attento che la sommatoria parte da 1 e non da 0 !
Discuti la convergenza.

Allora la sommatoria che devo valutare è

$\sum_{n=1}^{+\infty}nz^{2n}$

Ponendo z^2=x

ottengo

$\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n}$

Se considero la sua derivata ho

$\sum_{n=1}^{+\infty}n^2x^{n-1}=\left\{\begin{matrix} n=1 & 1\\ n=2 & 4x\\ n=3 & 9x^2 \end{matrix}\right.$

Mentre la derivata della serie geometrica è

$\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n-1}=\left\{\begin{matrix} n=1 & 1\\ n=2 & 2x\\ n=3 & 3x^2 \end{matrix}\right.$

Ora intuisco che la serie che ho ottenuto ha dei legami con la derivata della serie geometrica ma non riesco a ricondurmi a quest'ultima...
Su wikipedia c'è un esempio che è proprio simile all'esercizio che ho io ma non ho capito in base a cosa vengono fatti dei passaggi...

Infatti lui prende come esempio la serie $\sum_{k=1}^n k 2^k$

e dice di considerare la funzione $t_n(x) = \sum_{k=0}^n x ^ k$

considera la derivata $t_n'(x) = \sum_{k=1}^n k x ^{k-1}$

Il passaggio che non ho capito ed è quello che sostanzialmente non riesco a fare io in riferimento al mio esercizio è questo
infatti sta scritto "questo significa che"

$2t_n'(2) = \sum_{k=1}^n k 2 ^ k$

ma io non mi trovo perché se moltiplico per due i temini della serie non ottengo la serie delle derivate

Se riesco a capire questo passaggio poi mi risulta semplice perché se riesco a ricondurmi alla serie della derivata geometrica

Quando formuli una domanda cerca di essere chiaro.
Quale passaggio ti sfugge?
Ti ho indicato il risultato della derivata della serie, devi adattare quello alle tue necessità di calcolo. Non ti serve altro.

Io non riesco a vedere la somiglianza tra la serie che ottengo per sostituzione ovvero

$\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n}$

e la serie delle derivate
$\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$

Purtroppo le serie sono proprio una cosa che non mi entra in testa...

Ho provato anche a formulare un ragionamento ma non so se è giusto...in pratica

$\sum_{n=1}^{+\infty}nx^{n}= \frac{1}{(1-x)^2}$

$\frac{1}{(1-x)^2}\rightarrow \frac{1}{1-z^2}$

Però è tutto un passaggio che faccio in modo meccanico

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