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Buonasera, se ho un segnale aleatorio X(t)

stazionario in senso lato di cui conosco l'autocorrelazione $R_X(\tau)$ e voglio calcolare l'autocorrelazione di un segnale $Y(t) = D \cdot X(t)$ dove

è una variabile aleatoria uniforme in [-2,1]

è possibile fare così ?

$R_Y(\tau) = E \{Y(t) Y(t+\tau)\} = E\{D^2 \cdot X(t) X(t+\tau)\}$

(*) $= E\{D^2\} \cdot E\{X(t)X(t+\tau)\}$

$= E\{D^2\} \cdot R_X(\tau)$

non mi convince tanto il fatto di poter splittare l'operatore valor medio nel prodotto delle singole medie tra una variabile aleatoria ed un segnale aleatorio. Si può fare?

oiram92 ha scritto:Si può fare?

Si, perché la speranza E[D]

è un operatore lineare.

Grazie mille per la risposta, ma questo vale a prescindere dal tipo di prodotto che ho? Mi spiego meglio con un esempio. Se avessi avuto $Y(t) = X(t) \cdot cos(3000\pi\;t + \phi)$ con $\phi$ variabile aleatoria uniforme in $[0,2\pi]$ (è un altro esercizio in sostanza).

In tal caso anche qui sarebbe possibile scrivere :

$R_Y(\tau) = R_X(\tau) \cdot E\{cos(3000\pi\;t + \phi)\cdot cos(3000\pi(t+\tau) + \phi)\}$

:?:

cioè, non c'entra nulla il fatto che a moltiplicare il segnale aleatorio sia una variabile aleatoria uniforme o un altro segnale giusto?

oiram92 ha scritto:cioè, non c'entra nulla il fatto che a moltiplicare il segnale aleatorio sia una variabile aleatoria uniforme o un altro segnale giusto?

Ricorda che esiste anche la funzione di valore medio di un processo stocastico:
Comunque nel tuo caso sì mi sembra giusto:

$\begin{aligned} & E[X(t_1)\cos(\omega t_1 + \phi)X(t_2)\cos(\omega t_2 + \phi)] \\ & = E[X(t_1)X(t_2)]E[\cos(\omega t_1 + \phi)\cos(\omega t_2 + \phi)]\\ & = R_X(t_1,t_2)E[\cos(\omega t_1 + \phi)\cos(\omega t_2 + \phi)] \end{aligned}$

O_/

Sicuro che il testo del problema sia completo ?

simo85 ha scritto:Si, perché la speranza E[D] è un operatore lineare.

https://it.wikipedia.org/wiki/Valore_atteso

Attenzione alle definizioni.

Comunque il problema è che bisogna giustificare la liceità del passaggio che vale quando le variabili sono scorrelate :

$E\left[D^2 \cdot X(t) X(t+\tau)\right]= E\left[D^2\right] \cdot E\left[X(t)X(t+\tau)\right]$

dimaios ha scritto:Attenzione alle definizioni.

Studio in 4 lingue diverse, e l'ultima di queste è l'italiano. :oops:

Io l'ho sempre chiamata speranza.

Se ti riferivi a me.

Mi riferivo alla linearità.

OK !

L'aspettazione del prodotto può diventare il prodotto delle aspettazioni ma non per la linearità.

dimaios ha scritto:Sicuro che il testo del problema sia completo ?

Il testo completo del primo esercizio è :

Sia X(t)

un segnale aleatorio stazionario in senso lato la cui funzione di autocorrelazione è :

$R_X(\tau) = 2000sinc(2000\tau)$

e sia $Y(t) = D \cdot X(t)$ dove

è una variabile aleatoria distribuita uniformemente in [-2, 1]

.

(a) Calcolare il valore medio del segnale Y(t)

, (b) disegnare la densità spettrale di potenza del segnale Y(t)

e calcolarne la potenza, e (c) calcolare la frequenza di campionamento per il segnale Y(t)

.

Mentre il testo del secondo esercizio è :

Sia X(t)

un segnale aleatorio stazionario in senso lato la cui funzione di autocorrelazione è :

$R_X(\tau) = 4500sinc^2(1500\tau)-500sinc^2(500\tau)+2000sinc(1000\tau)$

e sia $Y(t) = X(t) \cdot cos(3000\pi t + \phi)$ dove $\phi$ è una variabile aleatoria distribuita uniformemente in $[0, 2\pi]$ .

(a) Calcolare il valore medio del segnale Y(t)

, (b) disegnare la densità spettrale di potenza del segnale Y(t)

e calcolarne la potenza, e (c) calcolare la frequenza di campionamento per il segnale Y(t)

.

Domanda: Quindi il fatto di splittare così non è sempre fattibile?

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Autocorrelazione di un segnale

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