calcolo coefficienti serie di Fourier
Inviato: 7 mar 2018, 23:44Salve a tutti!
Sto iniziando a studiare per l'esame di segnali e mi sono imbattuto nel seguente esercizio che richiede di calcolare i coefficienti della serie di fourier del seguente segnale periodico:
Il segnale l'ho definito come:
dove
Per calcolare i coefficienti, essendo la funzione dispari ho usato la formula semplificata:
quindi ho che (per
):
![X_k = -j \frac{2 A}{T T_o} \int_{0}^{ T} t \sin(2 \pi k \frac{t}{T_0}) dx = -j \frac{A T_0}{2 \pi^2 k^2 T}[ \sin(2 \pi k \frac{T}{T_0})- 2 \pi k \frac{T}{T_0} \cos(2 \pi k \frac{T}{T_0})]](/forum/latexrender/pictures/63794521b8034268c4e8b149c705c9c8.png "X_k = -j \frac{2 A}{T T_o} \int_{0}^{ T} t \sin(2 \pi k \frac{t}{T_0}) dx = -j \frac{A T_0}{2 \pi^2 k^2 T}[ \sin(2 \pi k \frac{T}{T_0})- 2 \pi k \frac{T}{T_0} \cos(2 \pi k \frac{T}{T_0})]")
Il problema è che questo risultato è abbastanza sospetto. Di solito i coefficienti risultano un po' più semplici quindi immagino di aver fatto qualche errore di impostazione del problema, oppure mi sono perso qualche utile semplificazione. Il calcolo dell'integrale l'ho controllato con Wolfram e pare sia corretto.
Spero possiate aiutarmi a chiarire!
Sto iniziando a studiare per l'esame di segnali e mi sono imbattuto nel seguente esercizio che richiede di calcolare i coefficienti della serie di fourier del seguente segnale periodico:
Il segnale l'ho definito come:
dove Per calcolare i coefficienti, essendo la funzione dispari ho usato la formula semplificata:
quindi ho che (per
): Il problema è che questo risultato è abbastanza sospetto. Di solito i coefficienti risultano un po' più semplici quindi immagino di aver fatto qualche errore di impostazione del problema, oppure mi sono perso qualche utile semplificazione. Il calcolo dell'integrale l'ho controllato con Wolfram e pare sia corretto.
Spero possiate aiutarmi a chiarire!
invece di 
)
è una funzione dispari di 
(ossia 
) e quindi è puramente immaginario. il che è coerente con la formula che ho postato prima.
e quindi lo sviluppo in serie di fourier di 
può essere scritto come:![\sum_{k-\infty}^\infty |X_k| e^{j [2 \pi k f_0 t + arg(X_k)]}](/forum/latexrender/pictures/fe6c473e5895a5038174e4f07cd4cc55.png "\sum_{k-\infty}^\infty |X_k| e^{j [2 \pi k f_0 t + arg(X_k)]}")
, ampiezza 
e fase 
?
del segnale 
:
mi ricavo la trasformata 
, poi applico la proprietà:
![z(t) = \frac{d}{dx}\left(\frac{A}{T} t\; rect\left(\frac{t}{2T} \right) \right) = \frac{A}{T} \; rect\left(\frac{t}{2T}\right)+A \left[ -\delta(t+T)-\delta(t-T) \right]](/forum/latexrender/pictures/739ee7a868934e9671c505a84b8713c0.png "z(t) = \frac{d}{dx}\left(\frac{A}{T} t\; rect\left(\frac{t}{2T} \right) \right) = \frac{A}{T} \; rect\left(\frac{t}{2T}\right)+A \left[ -\delta(t+T)-\delta(t-T) \right]")
è:
per la proprietà dell'integrale: ![Y(f) = \frac{Z(f)}{j 2 \pi f} = \frac{2A}{j 2 \pi f} \left[ sinc(2 f T)- cos(2 \pi f T)\right]](/forum/latexrender/pictures/10c8fd49b0e4ddffb8d44cfb2a1654a1.png "Y(f) = \frac{Z(f)}{j 2 \pi f} = \frac{2A}{j 2 \pi f} \left[ sinc(2 f T)- cos(2 \pi f T)\right]")
![X_k = \frac{2A}{j 2 \pi k} \left[ sinc \left(2 k \frac{T}{T_o} \right)- cos\left(2 \pi k \frac{T}{T_o}\right)\right]](/forum/latexrender/pictures/3a5cd2b2161a86fca6b2c637a01a2a57.png "X_k = \frac{2A}{j 2 \pi k} \left[ sinc \left(2 k \frac{T}{T_o} \right)- cos\left(2 \pi k \frac{T}{T_o}\right)\right]")
