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Coefficienti di Fourier

teoria dei segnali, elaborazione, trasformate Z, Fourier, segnali caratterizzati da processi e variabli aleatorie, stimatori, DSP

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[31] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utentexyz » 16 dic 2018, 19:14

ellosma ha scritto:posto l’immagine della soluzione del mio libro

Chi ha scritto quel libro ignora un passaggio banale:

\begin{array}{lcl}
\frac{1}{2} e^{\, -j \frac{\pi}{2}} & = & -\frac{1}{2} \, j \\
\\
\frac{1}{2} e^{\, +j \frac{\pi}{2}} & = & +\frac{1}{2} \, j 
\end{array}
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[32] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 17 dic 2018, 10:32

xyz ha scritto:Chi ha scritto quel libro ignora un passaggio banale:

\begin{array}{lcl}
\frac{1}{2} e^{\, -j \frac{\pi}{2}} & = & -\frac{1}{2} \, j \\
\\
\frac{1}{2} e^{\, +j \frac{\pi}{2}} & = & +\frac{1}{2} \, j 
\end{array}

Non credo lo ignori, semplicemente sceglie di presentare la soluzione in termini di modulo e fase.
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[33] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 17 dic 2018, 10:36

ellosma ha scritto:Dovrei risolvere sen 2\pi f_0 t = \frac {e^{i 2 \pi f_0 t } {- e^{i 2 \pi f_0 t   } }}{2i}
, riscrivendo il seno con le formule di eulero otterrei un c_k uguale a
\frac{1}{2i} {e^{2 \pi f_0 t(1-ik) } {- e^{-2 \pi f_0 t  (1+ik) } }}


c_n = \frac{1}{2}(a_n+jb_n) per n>0
c_n = \frac{1}{2}a_0 per n=0
c_n = c_{|n|}* per n<0


Quindi, tornando al problema iniziale? Dai che ci siamo :)
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[34] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utenteellosma » 17 dic 2018, 13:50

Se k > 0 c_k = \frac{1}{2i}(e^{2\pi f_0 t (1-ik)}-e^{-2\pi f_0 t (1+ik)})
Se k=0 c_k = \frac{1}{2i} \frac{e^{4\pi f_0 t}-1}{e^{2\pi f_0 t}}
Per k<0 invece dovrei calcolare il modulo, quindi essendo cK composto da una sottrazione di due componenti complesse , dovrei fare la radice del quadrato di ck , quindi tornerei ad avere ck stesso ? #-o
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[35] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto UtenteDrCox » 17 dic 2018, 15:41

ellosma ha scritto:Se k > 0 c_k = \frac{1}{2i}(e^{2\pi f_0 t (1-ik)}-e^{-2\pi f_0 t (1+ik)})
...


perché ti complichi la vita?
Ci hai detto prima che la soluzione richiede che tutti i coefficienti a_n e b_n siano a zero, tranne b_1.
Quindi, convertendo questa frase qui sopra in termini di c_k?
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[36] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utenteellosma » 17 dic 2018, 16:47

Se a_n e b_n sono uguali a zero allora per k>0 avremo c_k = 0 e lo stesso vale per il caso di k= 0 perché c_k = \frac{1}{2}a_0 che è un coefficiente nullo :roll:
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[37] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utentexyz » 17 dic 2018, 21:29

Una cosa giusta è stata detta che b_1 è diverso da zero, adesso ti contraddici dicendo che tutti i coefficienti a_n e b_n sono uguali a zero, sbagliato.

Calcola b_1 e b_{-1} ricavi c_1 e c_{-1} per finire l'esercizio.

In realtà basta calcolare il coefficiente per k=1 o k=-1 poi basta applicare una proprietà importante della serie di Fourier quando il segnale trasformato è una funzione reale, spero che sia stata detto a lezione o si trova nei tuoi libri o rileggi con molta attenzione questo thread.
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[38] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utenteellosma » 22 dic 2018, 16:37

Scusatemi se risorgo solo ora ma sono stata malata e poi mi sono riguardata tutta la teoria per capirci un po’ di più. Sono , spero , riuscita a risolverlo in questo modo:

c_k = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} sen (2 \pi f_0 t) e^{-2i\pi f_0 t} dt
Ora scrivo il seno con le formule di eulero , come da vostro suggerimento , e risolvendo la moltiplicazione interna all’integrale ottengo
c_k = \frac{1}{2iT_0} \int_{0}^{T_0} 1 - e^{-4i\pi f_0 t} dt
Ora risolvo l’integrale scomponendoli in due parti , la parte relativa a 1 ( che mi darà T0 ) e quella relativa all’esponenziale. Sapendo però che e^{-4\pi i} = cos (-4\pi ) + i sen (-4\pi )= 1 + 0i = 1 e Che f_0 = 1/T_0 allora posso scrivere
c_k = \frac {1}{2i} che è uguale a c_k = \frac {1}{2} e^{\frac{-i\pi}{2}}
Sempre per il fatto che e^{\frac{-i\pi}{2}} = cos (\frac {-\pi }{2})  + i sen (\frac{-\pi}{2}) = \frac{1}{i}

( questo nel caso in cui k = 1 )
Spero che quello che ho scritto abbia un po’ di senso
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[39] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto Utentexyz » 22 dic 2018, 19:08

Come regola generale non è bello avere nel denominatore l'unità immaginaria, si riporta al numeratore:

\frac{1}{i\, 2} = - \frac{i}{2}

Nella formula di c_k riportata manca k, quello che hai fatto è calcolare a priori c_1. I coefficienti della serie di Fourier sono infiniti, quindi uno deve riportare come soluzione i valori di tutti i coefficienti in una forma compatta.
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[40] Re: Coefficienti di Fourier

Messaggioda Foto UtenteIanero » 25 dic 2018, 12:50

Nota per Foto Utenteellosma: dalla prossima volta, prova a scrivere le funzioni trigonometriche così:

\sin
\cos

e non:

sen
cos

perché nel secondo modo è come se stessi dicendo s\cdot e \cdot n oppure c\cdot o \cdot s.
Basta inserire uno "\" all'inizio:

Codice: Seleziona tutto
\sin

Codice: Seleziona tutto
\cos


Poi, se proprio vuoi rasentare la perfezione, puoi scrivere il differenziale e l'unità immaginaria così:

Codice: Seleziona tutto
\mathrm{i}

Codice: Seleziona tutto
\mathrm{d}x


fornendo al lettore:

\mathrm{i}
\mathrm{d}x
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