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Devo calcolare i coefficienti di Fourier della funzione $x(t) = sen ( 2 \pi f_0 t)$ ma ho una serie infinita di problemi. Io l’avrei calcolata partendo dalla definizione , considerando che il periodo della funzione è pi greco e che posso integrare la funzione da pigreco a - pigreco perché oltre si ripete, avrei scritto :
$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} sen(2 \pi f_0 t ) e^{-i2\pi f_0 t}$
A questo punto il mio libro mi suggerisce di applicare le formule di eulero , così dopo aver posto il seno uguale a $\frac{ e^{ix } - e^{-ix} }{2i}$ mi sono bloccata. Inoltre cercando altri esercizi svolti per cercare di capire, ho visto che esercizi simili vengono però risolti con la definizione $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} sen(2 \pi f_0 t ) cos{ k t}$ e non capisco quando applicare una o l’altra. So che ho sicuramente lacune spaventose ma potreste provare ad illuminarmi #-o

ellosma ha scritto:non capisco quando applicare una o l’altra

Di base la questione è: calcolo i coefficienti a_n

e

, poi eventualmente ricavando i coefficienti c_n

partendo da questi ultimi, oppure faccio il contrario.
Non cambia alcunchè. Entrambe le strade portano allo stesso risultato. Se ti senti più sicura con i calcoli di integrali con gli esponenziali, prendi quella strada; altrimenti, prendi l'altra strada. Sta a te.

E' indubbio che, a seconda del tipo di funzione che hai davanti, scegliere un approccio potrebbe risultare in un numero inferiore di calcoli rispetto all'altro.

ellosma ha scritto: $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} sen(2 \pi f_0 t ) e^{-i2\pi f_0 t}$
A questo punto il mio libro mi suggerisce di applicare le formule di eulero , così dopo aver posto il seno uguale a $\frac{ e^{ix } - e^{-ix} }{2i}$ mi sono bloccata.

Riguardo a questo punto, semplicemente fai questa sostituzione. Cosa salta fuori?
$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{ e^{i2 \pi f_0 t } - e^{-i2 \pi f_0 t} }{2i} e^{-i2\pi f_0 t}$

Indizio: l'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali. Prova ad andare ancora un po' avanti tu

ellosma ha scritto:Devo calcolare i coefficienti di Fourier della funzione $x(t) = sen ( 2 \pi f_0 t)$ ma ho una serie infinita di problemi

Cosa intendi per coefficienti di Fourier ?

Grazie mille per la spiegazione , finalmente riesco a dare un po’ di senso a quello che faccio ! Per ora sono arrivata al punto $\frac{1}{2\pi} ( \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-e^{-4(i\pi f_0 t))}}{i}dt)$ . Adesso porto fuori la i a denominatore e poi spezzo l’integrale della sottrazione , che ho a numeratore, da cui ricavo
$\frac{1}{2\pi i }({2\pi-\frac{e^{-4\pi^{2}i f_0}-e^{4\pi^{2}i f_0}}{-4i\pi f_0}})$

Ammesso che fino a qui quello che ho scritto abbia un senso, perché gli estremi dell’integrale non sono $\pm \frac{\pi}{2}$ ma pigreco ?

Ellosma ha scritto:perché gli estremi dell’integrale non sono $\pm \frac{\pi}{2}$ ma pigreco ?

perché non mi dici cosa stai cercando di calcolare?
Cosa intendi per coefficienti di Fourier?

Sinceramente non ho capito la tua domanda.. l’esercizio mi da il segnale x(t) che ho riportato sopra e mi chiede di trovare i coefficienti di Fourier. Io ho dato per scontato si dovesse applicare uno dei due metodi che drCox mi ha spiegato.

ellosma ha scritto: funzione $x(t) = sen ( 2 \pi f_0 t)$ ... considerando che il periodo della funzione è pi greco

Sicuro ? La funzione sen(t)

ha periodo $2\,\pi$ , la funzione $sen(k \, t)$ con

costante e reale ha il periodo di $\frac{2\,\pi}{k}$ quindi nel tuo caso $\frac{2\,\pi}{2\,\pi \, f_0} = \frac{1}{f_0} = T$ .

ellosma ha scritto:Per ora sono arrivata al punto $\frac{1}{2\pi} ( \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1-e^{-4(i\pi f_0 t))}}{i}dt)$ . Adesso porto fuori la i a denominatore e poi spezzo l’integrale della sottrazione

Questo è l'approccio giusto da seguire, esatto.
Chiariti gli aspetti dell'approccio, controlla la questione del periodo, come suggerito dagli altri utenti (nella fretta di risponderti ho erroneamente copiato il tuo integrale che, appunto, presenta un errore sugli estremi di integrazione).

ellosma, ricevi sempre aiuti autorevoli, nonostante ciò in alcuni dei 3D da te aperti sei sparita lasciando l'argomento senza la soluzione finale o a metà svolgimento.
Speriamo che quest'ultimo 3D non faccia "statistica"...

Scusa, Stavolta mi ricorderò di scrivere tutta la soluzione. Dopo aver spezzato l’integrale ottengo $\frac{1}{4\pi} ({\frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2}}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} e^{-4i\pi f_0 t})$ questo perché essendo la funzione sen2x ha (credo ) un periodo di 1/2pi e non di 1/pi come avevo scritto prima, inoltre ho corretto gli estremi dell’integrale che vanno da pigreco mezzi a - pigreco mezzi. Ora risolvendo gli integrali mi risulta $\frac{1}{4\pi i} ({\frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2}}- \frac{e^{-4i\pi f_0 \frac{\pi}{2} }-e^{-4i\pi f_0 \frac{-\pi}{2}}}{4i\pi f_0})$ . A parte risolvere la prima parte della parentesi , poi non saprei come andare avanti #-o

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