ElectroYou

Volendo dimostrare il teorema del campionamento analiticamente e supponendo di essere in assenza di aliasing, dove le condizioni di Nyquist sono rispettate ed abbiamo una funzione di interpolatore ideale, con frequenza di campionamento maggiore di due volte la banda.
L'obietivo è dimostrare che il segnale campionato è uguale a quello originale.

x(t)

segnale in ingresso al campionatore,
x(nT)

segnale in uscita al campionatore,
$\hat x(t)$ segnale interpolato in uscita al campionatore,
p(t)

è la mia funzione di interpolatazione
T= periodo di campionamento

premesso che la trasformata di Fourier a tempo discreto, che lega il segnale a tempo continuo con quello discreto, è

$\mathcal{F}\{x(nT)\} = \bar X(f) = \frac{1}{T} \sum_{n=-inf}^{+inf} X(f-\frac{n}{T}) = \sum_{n=-inf}^{+inf} x(nT) e^{-j2 \pi fnT}$

dato che:

$\hat x(t)=\sum_{n=-inf}^{+inf} x(nT)x(t-nT)p(t-\frac{n}{T})$

$\mathcal{F}\{ \hat x(t)\} = \hat X(f)$

la trasformata di Fourier di $\hat x(t)$ è:

$\sum_{n=-inf}^{+inf} x(nT)P(f) e^{-j2 pi fnT}$

dato che :

$\sum_{n=-inf}^{+inf} x(nT) e^{-j2 \pi fnT} = \bar X(f)$

per cui

$\sum_{n=-inf}^{+inf} x(nT)P(f) e^{-j2 \pi fnT} = \bar X(f) P(f)$

negli appunti uguaglia $\bar X(f) P(f) = X(f)$
ma non capisco come si arrivi a tale deduzione.

ziomangrovia ha scritto:p(t) è la mia funzione di interpolatazione

con questa notazione dovrebbe essere l'impulse-train sampling:

$p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta \left (t - nT \right)$

La $\delta$ dovrebbe dirti qualcosa, mentre che la funzione di interpolazione dovrebbe essere quella di un filtro passa basso ideale.

gvee ha scritto: con questa notazione dovrebbe essere l'impulse-train sampling:

$p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta \left (t - nT \right)$

La $\delta$ dovrebbe dirti qualcosa, mentre che la funzione di interpolazione dovrebbe essere quella di un filtro passa basso ideale.

Ciao,
quello che dici non mi torna, se proprio devo dirla tutta il teorema del campionamento che sto studiando prende in esame come funzione interpolatore il seno cardinale, dicendo che così puoi ricostruire esattamente il segnale.

ziomangrovia ha scritto:prende in esame come funzione interpolatore il seno cardinale, dicendo che così puoi ricostruire esattamente il segnale.

Infatti, quale è la risposta all'impulso di un filtro passa basso ideale?

gvee ha scritto:Infatti, quale è la risposta all'impulso di un filtro passa basso ideale?

E' una rect di ampiezza T centrata in zero, supposto che abbia $p(t)=sinc(\frac{t}{T})$ .
Quindi dici che la rect filtra il segnale tra $\frac{-B}{2}$ e $\frac{+B}{2}$ così ottengo lo spettro pari del segnale originale centrato in f, ovviamente ciò accade per ogni frequenza.
Quindi così ricostruisco fedelmente lo stesso spettro di frequenza del segnale originale e posso concludere che i due segnali nel tempo sono equivalenti ? Ho capito bene ?

Sì, il ragionamento nel dominio della frequenza è facile.
Nel dominio del tempo è più interessante perché rende evidente l'interpolazione.

Comunque la prossima volta fai uno sforzo per scrivere bene le formule perché siano meglio formattate.

In $\LaTeX$ il simbolo $\infty$ si scrive con il codice

Codice: Seleziona tutto: \infty

e le parentesi andrebbero scritte come

Codice: Seleziona tutto: \left ( \right)

per esempio:

Codice: Seleziona tutto: \left ( \frac{a}{b} \right)

$\left ( \frac{a}{b} \right)$

gvee ha scritto:Sì, il ragionamento nel dominio della frequenza è facile.
Nel dominio del tempo è più interessante perché rende evidente l'interpolazione.

thanks

ElectroYou

Dimostrazione teorema del campionamento

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Re: dimostrazione teorema del campionamento

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