Cos'è ElectroYou | Login Iscriviti

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Spunti di riflessione (un we di mate)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtentePietroBaima, Foto UtenteIanero

0
voti

[141] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto Utentesedetiam » 23 mag 2018, 5:55

Azz....storie tese ! :D

Grazie ! :ok:
"dai diamanti non nasce niente, dal letame nascono i fior" - Fabrizio De Andrè
Avatar utente
Foto Utentesedetiam
2.025 1 3 9
Master
Master
 
Messaggi: 438
Iscritto il: 11 gen 2013, 12:04

1
voti

[142] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 lug 2018, 9:32

\sin x \approx  \frac{16x (\pi - x)}{5\pi^2 - 4x (\pi - x)}

Formule efficaci ed eleganti provenienti da altri tempi.
La cosa stupefacente è che volendo ricavare analiticamente tale approssimazione, si trova che si può fare ben poco di meglio del 16 e del 4...
Avatar utente
Foto UtenteIanero
6.409 5 8 13
Master
Master
 
Messaggi: 3090
Iscritto il: 21 mar 2012, 15:47

1
voti

[143] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteGuidoB » 10 lug 2018, 10:34

Bella e semplice, coi suoi coefficienti interi... nel primo quadrante dà il risultato esatto per 0, \frac{\pi}{6} e \frac{\pi}{2}, e meno del 2 per mille d'errore per \frac{\pi}{4} e \frac{\pi}{3}. Nel secondo quadrante si comporta in modo simile. Gli altri quadranti si possono ridurre facilmente al primo.

Potrebbe essere ancora utile in applicazioni embedded che richiedono più velocità che precisione... :ok: :ok: :ok:
Big fan of ƎlectroYou!
Avatar utente
Foto UtenteGuidoB
13,6k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2052
Iscritto il: 3 mar 2011, 16:48
Località: Madrid

1
voti

[144] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 10 lug 2018, 12:49

Ianero ha scritto:\sin x \approx  \frac{16x (\pi - x)}{5\pi^2 - 4x (\pi - x)}


Dove l'hai trovata?
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
Plug it in - it works better!
Il 555 sta all'elettronica come Arduino all'informatica! (entrambi loro malgrado)
Se volete risposte rispondete a tutte le mie domande
Avatar utente
Foto UtenteIsidoroKZ
100,2k 1 3 8
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 17957
Iscritto il: 17 ott 2009, 0:00

1
voti

[145] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 lug 2018, 13:23

Leggendo la storia di qualche matematico indiano.
Questa formula viene da uno di loro che si chiamava Bhaskara I.
Non c'è fonte attendibile che racconti in che modo lui l'abbia trovata, ma ci sono solo vari tentativi validi e funzionanti trovati poi.
La formula assume eleganza ancora maggiore se espressa come coseno:

\cos x\approx\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2 + x^2}

Qui c'è qualcos'altro:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Bio ... ara_I.html

C'è anche la voce su Wikipedia.
Avatar utente
Foto UtenteIanero
6.409 5 8 13
Master
Master
 
Messaggi: 3090
Iscritto il: 21 mar 2012, 15:47

0
voti

[146] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 lug 2018, 11:03

Avete mai visto una formula per la successione di Fibonacci più involuta di questa:

u_n=\prod _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{k}\frac{(-1)^l}{u_lu_{l-1}}, u_{0}=-1, u_1=1

:?:

:mrgreen:

PS: questa dipende da tutti i termini precedenti, non solo dagli ultimi due.

PPS: si può trovarne anche una che dipende solo dal precedente e non dai due precedenti:

u_n=\frac{u_{n-1}}{2}\left(1+\sqrt{5-\frac{4(-1)^n}{u_{n-1}^2}}\right)

da qui si vede molto bene che \lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{u_{n-1}}=\phi.

Come buttare intere mattinate :roll:
Avatar utente
Foto UtenteIanero
6.409 5 8 13
Master
Master
 
Messaggi: 3090
Iscritto il: 21 mar 2012, 15:47

1
voti

[147] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 22 lug 2018, 12:00

GuidoB ha scritto:Bella e semplice, coi suoi coefficienti interi

Bella sì, semplice no, perché richiede una approssimazione molto buona di pi greco e non ha i coefficienti interi.
Se vario pi greco in quella formula, avendo una sottrazione al denominatore ho che l'errore esplode in fretta.
Facendo un grafico di variazione per pi greco mi accorgo che quella formula approssima bene il seno fino a pi greco mezzi.
Il problema è facilmente superabile, come anche tu hai trovato, ma va conosciuto bene.
Untitled.jpg

Problema che altrimenti non si noterebbe, purtroppo:
Allegati
Untitled.jpg
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Plank per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
72,4k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 8447
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

0
voti

[148] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteGuidoB » 23 lug 2018, 2:08

Grazie Pietro per la tua indagine.

Io non ho studiato calcolo delle variazioni e non riesco a capire come una sottrazione al denominatore (quale delle due?) possa far esplodere l'errore.

Immagino che quella formula possa tornare utile in applicazioni embedded di robotica, dove per esempio muovo un disco con un motore passo passo, e voglio sapere le coordinate di un punto sulla circonferenza, per cui mi servono seno e coseno. Ma siccome ho poca memoria flash (me lo sto inventando) non posso includere la libreria math.

Se utilizzassi come unità di misura degli angoli non i radianti ma lo spostamento angolare di un passo del mio motore (per esempio se il motore facesse 60 passi al giro, sceglierei come unità 1/60 di angolo giro) credo che potrei liberarmi del pi greco nella formula, e quindi dei problemi relativi alla sua precisione.

In ogni caso se dovesse mai capitarmi un'applicazione del genere terrò ben in conto la tua avvertenza e farò molte prove in vari casi.


Mi hai fatto venir voglia di vedere il grafico dell'errore assoluto, così ho disegnato con WolframAlpha (magnifico strumento on line con cui ho poca dimestichezza, ma che sono riuscito ancora a manovrare :D )
l'errore su due intervalli, il secondo un po' più ampio:

Errore assoluto tra 0 e pi greco:

AbsoluteError.png
AbsoluteError.png (9.29 KiB) Osservato 8 volte


Errore assoluto tra -1 e pi + 1:

AbsoluteError2.png
AbsoluteError2.png (8.67 KiB) Osservato 8 volte


Si vede come fuori dall'intervallo \left[0, \pi\right] la funzione è inutilizzabile per l'eccessivo errore. Ma per fortuna si può facilmente riportare il calcolo del seno all'intervallo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
Big fan of ƎlectroYou!
Avatar utente
Foto UtenteGuidoB
13,6k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2052
Iscritto il: 3 mar 2011, 16:48
Località: Madrid

Precedente

Torna a Matematica generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite