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Spunti di riflessione (un we di mate)

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[141] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto Utentesedetiam » 23 mag 2018, 5:55

Azz....storie tese ! :D

Grazie ! :ok:
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[142] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 lug 2018, 9:32

\sin x \approx  \frac{16x (\pi - x)}{5\pi^2 - 4x (\pi - x)}

Formule efficaci ed eleganti provenienti da altri tempi.
La cosa stupefacente è che volendo ricavare analiticamente tale approssimazione, si trova che si può fare ben poco di meglio del 16 e del 4...
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[143] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteGuidoB » 10 lug 2018, 10:34

Bella e semplice, coi suoi coefficienti interi... nel primo quadrante dà il risultato esatto per 0, \frac{\pi}{6} e \frac{\pi}{2}, e meno del 2 per mille d'errore per \frac{\pi}{4} e \frac{\pi}{3}. Nel secondo quadrante si comporta in modo simile. Gli altri quadranti si possono ridurre facilmente al primo.

Potrebbe essere ancora utile in applicazioni embedded che richiedono più velocità che precisione... :ok: :ok: :ok:
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[144] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 10 lug 2018, 12:49

Ianero ha scritto:\sin x \approx  \frac{16x (\pi - x)}{5\pi^2 - 4x (\pi - x)}


Dove l'hai trovata?
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
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[145] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 10 lug 2018, 13:23

Leggendo la storia di qualche matematico indiano.
Questa formula viene da uno di loro che si chiamava Bhaskara I.
Non c'è fonte attendibile che racconti in che modo lui l'abbia trovata, ma ci sono solo vari tentativi validi e funzionanti trovati poi.
La formula assume eleganza ancora maggiore se espressa come coseno:

\cos x\approx\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2 + x^2}

Qui c'è qualcos'altro:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Bio ... ara_I.html

C'è anche la voce su Wikipedia.
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[146] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteIanero » 22 lug 2018, 11:03

Avete mai visto una formula per la successione di Fibonacci più involuta di questa:

u_n=\prod _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{k}\frac{(-1)^l}{u_lu_{l-1}}, u_{0}=-1, u_1=1

:?:

:mrgreen:

PS: questa dipende da tutti i termini precedenti, non solo dagli ultimi due.

PPS: si può trovarne anche una che dipende solo dal precedente e non dai due precedenti:

u_n=\frac{u_{n-1}}{2}\left(1+\sqrt{5-\frac{4(-1)^n}{u_{n-1}^2}}\right)

da qui si vede molto bene che \lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{u_{n-1}}=\phi.

Come buttare intere mattinate :roll:
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[147] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 22 lug 2018, 12:00

GuidoB ha scritto:Bella e semplice, coi suoi coefficienti interi

Bella sì, semplice no, perché richiede una approssimazione molto buona di pi greco e non ha i coefficienti interi.
Se vario pi greco in quella formula, avendo una sottrazione al denominatore ho che l'errore esplode in fretta.
Facendo un grafico di variazione per pi greco mi accorgo che quella formula approssima bene il seno fino a pi greco mezzi.
Il problema è facilmente superabile, come anche tu hai trovato, ma va conosciuto bene.
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Problema che altrimenti non si noterebbe, purtroppo:
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[148] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtenteGuidoB » 23 lug 2018, 2:08

Grazie Pietro per la tua indagine.

Io non ho studiato calcolo delle variazioni e non riesco a capire come una sottrazione al denominatore (quale delle due?) possa far esplodere l'errore.

Immagino che quella formula possa tornare utile in applicazioni embedded di robotica, dove per esempio muovo un disco con un motore passo passo, e voglio sapere le coordinate di un punto sulla circonferenza, per cui mi servono seno e coseno. Ma siccome ho poca memoria flash (me lo sto inventando) non posso includere la libreria math.

Se utilizzassi come unità di misura degli angoli non i radianti ma lo spostamento angolare di un passo del mio motore (per esempio se il motore facesse 60 passi al giro, sceglierei come unità 1/60 di angolo giro) credo che potrei liberarmi del pi greco nella formula, e quindi dei problemi relativi alla sua precisione.

In ogni caso se dovesse mai capitarmi un'applicazione del genere terrò ben in conto la tua avvertenza e farò molte prove in vari casi.


Mi hai fatto venir voglia di vedere il grafico dell'errore assoluto, così ho disegnato con WolframAlpha (magnifico strumento on line con cui ho poca dimestichezza, ma che sono riuscito ancora a manovrare :D )
l'errore su due intervalli, il secondo un po' più ampio:

Errore assoluto tra 0 e pi greco:

AbsoluteError.png
AbsoluteError.png (9.29 KiB) Osservato 594 volte


Errore assoluto tra -1 e pi + 1:

AbsoluteError2.png
AbsoluteError2.png (8.67 KiB) Osservato 594 volte


Si vede come fuori dall'intervallo \left[0, \pi\right] la funzione è inutilizzabile per l'eccessivo errore. Ma per fortuna si può facilmente riportare il calcolo del seno all'intervallo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
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[149] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 23 lug 2018, 8:38

Grazie :D
I tuoi grafici sono corretti se hai a disposizione un valore preciso di pi greco.
Rifai il grafico dell’errore mettendo pi greco uguale a 3.14

Per quanto riguarda la sottrazione al denominatore ti lascio il piacere di scoprilo da solo (se vuoi, altrimenti te lo dico).
Fai così: considera pi greco come una variabile e trova per quali valori di pi greco si annulla il denominatore. Quel valore di pi greco, o un valore vicino, darà problemi (a meno che non si annulli anche il numeratore). Puoi anche vedere di quanto varia tutta la funzione variando il valore di pi greco di un certo epsilon (cioè sostitendo a pi greco un valore pari a pi greco moltiplicato 1+eps). Se varia di qualche eps la variazione è contenuta, ma se varia di decine o centinaia di eps, allora per un piccolo errore di pi greco avrò una forte variazione della formula.
La variazione di eps dipenderà da x e questo ti fornisce informazioni sugli intervalli nei quali la tua formula è una buona approssimazione della funzione originale.

Buon calcolo :ok:
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[150] Re: Spunti di riflessione (un we di mate)

Messaggioda Foto Utentetonnoto » 24 lug 2018, 13:10

GuidoB ha scritto:Grazie Pietro per la tua indagine.


Se non ho fatto fesserie, sembrerebbe che nell'intervallo 0-:Pi/2 sia conveniente calcolare l'approssimazione del seno passando dall'approssimazione del coseno, almeno nell'intervallo 0-:0.26 (0-:15°circa); infatti l'errore relativo si ridurrebbe da circa 1.8% a circa 0.68% per valori attorno a 1°.
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