Funzione di trasferimento e variabile s

[ziomangrovia]

Sto iniziando a studiare le funzioni di trasferimento nei sistemi dinamici, ho compreso il concetto principale di FDT che la si esprime in funzione della variabile s cioè della frequenza ma non capisco questa equivalenza cosa rappresenti esattamente .
è la pulsazione in per cui immagino si parli di segnali periodici, corretto?
Ma allora è la fase?

[ziomangrovia]

Ma allora è la fase?

Scusate volevo dire

[GioArca67]

Nell'esame dei sistemi dinamici di solito hai segnali di ingresso tipo gradini, rampe ecc. più raramente segnali sinusoidali.

La variabile s è rappresentata, per come la scrivi, con parte reale () e parte immaginaria ().

La fase cui sembra tu faccia riferimento sembra la del segnale sinusoidale tipo .

Questa non c'entra nulla né con la possibile rappresentazione di s in modulo |s| e fase (), né ad es. con la fase della trasformata di Fourier (trasformata molto simile a quella di Laplace).

[EcoTan]

immagino si parli di segnali periodici, corretto?

No, e sigma non è la fase di alcuna sinusoide.
Visto che parli di funzione di trasferimento, cioè di rapporto fra trasformate, ponendo sigma=0 la fase di quello che rimane può rappresentare uno sfasamento fra sinusoidi, corretto?

[IsidoroKZ]

Le funzioni di e il suo significato sono sempre un problema per chi si avvicina la prima volta. Poi, con il tempo, uno si abitua, ma di solito non ci si fa domande troppo complicate

Provo a confonderti un po' le idee, senza andare troppo nel complicato: per questo lascio la tastiera a PietroBaima Quello che racconto dopo e` un aspetto da "utilizzatore", alcune cose non sono teoricamente complete, ma come primo passo non saprei come fare diversamente.

Bisognerebbe anche sapere quali siano le tue conoscenze matematiche (numeri complessi? Integrali?) comunque provo a andare per gradi.

Come prima cosa bisogna supporre che sappia che esistono le trasformate di Laplace e bisogna sapere che la variabile e` una frequenza "generalizzata", poi ci torno su.

Una funzione di s, ad esempio , puo` essere interpretata in due o tre modi diversi.

Una prima interpretazione e` che A(s) sia una funzione di trasferimento, ovvero il legame che c'e` fra la trasformata di Laplace di un segnale di ingresso (I) e quella del segnale di uscita (U), . In questa accezione una funzione di trasferimento puo` essere vista, in modo generico, come un filtro. Per ogni frequenza generalizzata (per ogni valore di ) la funzione di trasferimento dice qual e` il legame fra uscita e ingresso nel dominio della frequenza.

Una seconda interpretazione di una funzione, ad esempio di prima, e` che si tratti della trasformata di Laplace di un segnale che esiste nel dominio del tempo.

Infine una funzione di puo` essere vista come un operatore matematico (vedi dopo).

Prendiamo ad esempio la funzione nel dominio di Laplace di (nel seguito ci sono alcune cose che non vanno, poi le metto a posto).

Se la si vede come funzione di trasferimento, questa e` un filtro passa basso, quando s tende a 0 (frequenza zero, continua), la funzione sale sempre piu`, mentre quando s tende a infinito (frequenza infinita), la funzione tende a zero: piu` la frequenza e` alta piu` attenuato e` il segnale.

Se la si vede come segnale, e` la trasformata di Laplace di una funzione a gradino (quella che di solito viene indicata con ). Questo risultato non lo dimostro, va preso per buono dalla tabella delle trasformate di Laplace.

Infine l'operatore rappresentato da corrisponde a un integrale nel dominio del tempo, moltiplicare per equivale ad integrare la funzione nel tempo.

Una delle cose che non vanno bene in quanto detto prima sono le dimensioni (unita` di misura) delle varie funzioni. Essendo una frequenza (generalizzata), le sue dimensioni sono un tempo alla meno uno, e l'unita` di misura sono secondi alla meno uno. Non li chiamo hertz o radianti al secondo perche' bisogna ancora precisare qualcosa.

Quando si fa la trasformata di Laplace di un segnale, si calcola l'integrale nel dominio del tempo del segnale moltiplicato per un esponenziale complesso, ad esempio per una tensione che nel tempo e` si ha

Per ora non mi interessa ancora il significato dell'integrale, ma solo le dimensioni. La trasformata ha le dimensioni di una tensione integrata nel tempo () e quindi si misura in volt moltiplicato secondi.
Pertanto, per essere precisi, la trasformata di un gradino di tensione alto 1V NON e`, come ho detto prima bensi` .

Una funzione di trasferimento, che e` il rapporto di due segnali trasformati con Laplace, avra` le stesse dimensioni e unita` di misura dell'amplificazione nel dominio del tempo, perche' le grandezze di ingresso e uscita, nelle trasformate hanno una "moltiplicazione" per il tempo, ma essendo sia a numeratore che a denominatore, i tempi si semplificano.

Ad esempio un amplificatore di transconduttanza, con guadagno costante, ha una amplificazione data, nel dominio del tempo, da una corrente di uscita diviso per una tensione di ingresso, ampere diviso volt che fa siemens (*) . Se si fa il conto nel dominio di Laplace, si hanno ampere per secondo a numeratore diviso per volt per secondo a denominatore . I secondi si semplificano e rimane solo ampere diviso volt che fanno di nuovo siemens. Bisogna fare attenzione alla notazione: , in corsivo, e` la variabile della trasformata di Laplace, mentre in tondo e` il simbolo di secondo. Infine in tondo maiuscolo e` il simbolo del siemens, unita` di misura della conduttanza.

Se l'amplificazione non e` costante e dipende dalla frequenza, allora nel dominio del tempo non si puo` piu` fare una semplice divisione, il legame fra uscita e ingresso e` descritto da una equazione differenziale (se va bene!). Invece nel dominio di Laplace, anche quando l'amplificazione non e` costante con la frequenza, si ha una funzione di trasferimento dato da una espressione algebrica in (niente derivate!)

Adesso andiamo nel complicato. Il "nucleo" della trasformata (si chiama proprio cosi`) e` e l'esponente deve essere un numero adimensionato (il perche' un'altra volta ), quindi essendo un tempo, si ha che ha le dimensioni di un tempo alla meno uno. e` una variabile complessa, come hai visto . Se si va a vedere che cosa rappresenta il nucleo si ha

Il primo termine e` un esponenziale decrescente (come la scarica di un condensatore) moltiplicato per una funzione complessa che e` parente di una sinusoide (in realta` la parte reale e immaginaria di ad essere un coseno e un seno, ma per il momento non ci interessa).

La cosa importante e` che la variabile , variabile complessa, rappresenta un segnale dato da un esponenziale (costante di tempo moltiplicato per una sinusoide (complessa) di pulsazione .
Una sinusoide che decade esponenzialmente nel tempo si chiama cisoide (solo per chi gioca a trivial pursuit).
Ogni punto del piano complesso rappresenta un segnale: quelli sull'asse orizzontale (reale) sono esponeniali crescenti o decrescenti, quelli sull'asse immaginario sono sinusoidi (complesse), quelli in giro per il piano sono sinusoidi moltiplicate che decrescono o crescono perche' sono moltiplicate per un esponenziale reale. Una immagine della parte reale dei segnali associati ad alcuni punti e` la seguente (in realta` la figura riguarda i poli, non i segnali. Per la variabile in bisogna considerare l'asse reale positivo verso sinistra).

[La figura e` presa da Feedback Control of Dynamic Systems (Franklin, Powell, Emami-Naeini 7th ed. 2014)

Un segnale piu` complicato puo` essere scritto come somma di questo tipo di segnali elementari (essenzialmente cisoidi), e il risultato e` la trasformata di Laplace del segnale.

E le funzioni di trasferimento, cosa c'entrano con la rappresentazione dei segnali?
C'entrano perche' una funzione di trasferimento, che ci da` tutte le informazioni in frequenza (sinusoidale) quando si sostituisce , se la si antitrasforma, cioe` si cerca quale segnale ha quella particolare trasformata, si ottiene un segnale che e` la risposta all'impulso del sistema. Quando all'ingresso del sistema si mette un impulso molto stretto (breve), all'uscita si ha un segnale la cui trasformata e` la funzione di trasferimento del sistema. Ma qui si entra nelle convoluzioni, e` tardi, ora di dormire e mi fermo qui.

Sono perfettamente consapevole che ho introdotto semplificazioni, errori e altri orrori, ma e` un argomento complicato e all'inizio, se non si vuole partire subito con spazi astratti, per capire di che cosa si parla e` necessario semplificare. Spero di non aver introdotto errori troppo gravi!


(*) questa scrittura fa rabbrividire i metrologi, e hanno ragione. Se si usassero le parentesi quadre, oltre ai metrologi rabbrividirei anch'io

[ziomangrovia]

Grazie tante a tutti

[EnricoMigliore]

Ciao,

I circuiti lineari (*) possono essere studiati e risolti (*) nel dominio del tempo oppure, dopo un'opportuna trasformazione matematica delle forme d'onda dei generatori e delle impedenze, nel dominio "trasformato".

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La trasformata di Fourier oppure la trasformata Fasore di Steinmetz permettono di risolvere i circuiti a "regime" e quindi sono leggermente approssimate. Non contengono cioe' il termine che descrive l'evoluzione di tensioni e correnti nei primi istanti dopo l'accensione dei generatori.

Dopo la trasformazione matematica delle forme d'onda dei generatori, delle Resistene, delle Capacita' e delle Induttanze, la variabile indipendente t diventa ω.

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La trasformata di Laplace e' invece completa e contiene anche il termine che descrive l'evoluzione di tensioni e correnti nei primi istanti dopo l'accensione dei generatori.

Dopo la trasformazione matematica delle forme d'onda dei generatori, delle Resistene, delle Capacita' e delle Induttanze, la variabile indipendente t diventa diventa (σ + jω).

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(*) La definizione di circuito lineare la trovi su Wikipedia. In parole semplici, un circuito e' lineare quando e' composto da R, L, C e Trasformatori. I transistor sono dispositivi NON lineari che pero' possono essere approssimati come circuiti lineari attorno al punto di lavoro.


(**) Risolti significa determinare le tensioni tra tutte le possibili coppie di nodi e le correnti in tutti i rami della rete. Una volta noti questi valori e' poi possibile determinare tensioni e correnti in tutti


Ciao