ElectroYou

Ciao a tutti!!sinceramente non so se questa sezione è adatta alla mia domanda x cui vi chiedo scusa in anticipo se ho sbagliato :wink:

Sto studiando l'esame di analisi dei sistemi+automazione industriale,e ho un dubbio x quanto riguarda l'autovalore dominante!Non ho ben capito se è l'autovalore +vicino al pto di equilibrio,o se è quello cn il valore +alto in modulo!se potete chiaritemi questo cosa!!grazie :wink:

Gli autovalori in un sistema lineare sono legati alle costanti di tempo, ma come sai bisogna distinguere i sistemi continui da quelli discreti; supponendo la stabilità asintotica, l'autovalore dominante nei primi sarà quello più prossimo all'asse immaginario ovvero con parte reale (negativa) minore in modulo ... mentre nei secondi sarà quello con modulo (minore di uno) più prossimo alla circonferenza di raggio unitario. In altre parole quelli più vicini alle "frontiere di stabilità".
In conclusione
Sist.continui -> Autovalori dominanti => con parte reale negativa minore in modulo
Sist.discreti -> Autovalori dominanti => con modulo massimo (ma minore di uno)

Grazie!chiaro e preciso! =D>

Rimanendo nell'argomento,volevo sapere quando abbiamo 2 autovalori complessi e 1 normale,quale grafico è quello predominante? E poi volevo sapere se la Sovraelongazione di ha quando ci sono soluzioni complesse e coniugate(qndi andamento oscillatorio del diagramma) o con soluzioni reali e coincidenti,o in entrambi i casi?
grazie ancora!

aisha ha scritto:Rimanendo nell'argomento,volevo sapere quando abbiamo 2 autovalori complessi e 1 normale,quale grafico è quello predominante? E poi volevo sapere se la Sovraelongazione di ha quando ci sono soluzioni complesse e coniugate(qndi andamento oscillatorio del diagramma) o con soluzioni reali e coincidenti,o in entrambi i casi?
grazie ancora!

Per la prima domanda non sono sicuro di aver capito, a causa della parola "grafico". Si parla di polo (o poli) dominanti quando un polo (o una coppia complessa coniugata) ha parte reale molto minore (almeno 4 volte piu` piccola) rispetto a tutti gli altri poli.

Per avere sovraelongazione servono due poli complessi coniugati Q>.5

. Per avere peaking in frequency domain servono due poli complessi coniugati con $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}$

per la prima domanda,faccio riferimento ad esercizi del tipo :date le radici d sistemi tc si determini se l'insieme delle radici rappresenta in sistema stabile o meno, e si identifichi il modo d evoluzione dominante e se ne tracci un grafico qualitativo.
Ora se ho come radici : -2-3j; -2+3j; -40 che andamento ha il grafico??qual è il modo d evoluzione dominante?
Spero di essere stata + chiara :wink:

I poli dominanti in questo caso sono quelli in -2+/-3j (parte reale minore, piu` lenti). La risposta e` di tipo oscillante, anche se molto smorzata quindi con sovraelongazione in risposta a un gradino di ingresso.

Per avere sovraelongazione servono due poli complessi coniugati Q>.5

. Per avere peaking in frequency domain servono due poli complessi coniugati con $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}$

grazie!

IsidoroKZ ha scritto: Per avere sovraelongazione servono due poli complessi coniugati . Per avere peaking in frequency domain servono due poli complessi coniugati con $Q>\frac{\sqrt{2}}{2}$

Per pura curiosità, cosa indichi con Q?

Q e` il fattore di qualita` dei circuiti risonanti, usato dagli elettronici. I controllisti sistemisti usano lo smorzamento $\zeta$ e il legame fra i due e` $Q=\frac{1}{2\zeta}$ . I progettisti di filtri usano ancora un'altra variabile, attenuazione, $\alpha=\frac{\omega_n}{2Q}$ .

Tutti questi fattori entrano nel coefficiente di grado 1 del denominatore di un sistema del secondo ordine. Scritto da controllista si ha $\frac{\omega_n^2}{s^2+ 2\zeta \omega_n s+\omega_n^2}$ , mentre scritto da elettronico $\frac{1}{\left (\frac{\text{j}\omega}{\omega_n}\right )^2+\frac{\text{j}\omega}{Q\omega_n}+1}$ e infine scritto da un filtrista (in versione passa banda) si avrebbe: $\frac{1}{1+\frac{\omega_n}{\alpha}\left(\frac{\text{j}\omega}{\omega_n}+\frac{\omega_n}{\text{j}\omega}\right)}$

Il legame fra $\zeta$ e la posizione di una coppia di poli complessi coniugati posti in $-\sigma\pm \text{j}\omega_d$ e`:

$\zeta=\frac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}}$

mentre per il

si ha

$Q=\frac{\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}}{2\sigma}=\frac{1}{2\cos(\varphi)}$
dove $\varphi$ e` la fase del polo rappresentato in coordinate polari: $\varphi=\arctan\left(\frac{\omega_d}{\sigma}\right)$

Infine la pulsazione dei poli $\omega_n$ e` semplicemente la distanza dei poli dall'origine: $\omega_n=\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}$ da cui si puo` anche scrivere $\zeta=\frac{\sigma}{\omega_n}$ e $Q=\frac{\omega_n}{2\sigma}$ . Il parametro $\alpha$ dei filtristi e` solo un altro nome di $\sigma$ parte reale del polo: $\alpha=\sigma$ .

ElectroYou

autovalore dominante

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Re: autovalore dominante

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