Integrale di flusso
Inviato: 4 set 2010, 19:06Salve, ho un piccolo dubbio di analisi...
integrale del flusso F=(x²,y²,z²) sulla sfera di raggio r=2 e centro in C=(1,0,0)
Applicando il teorema della divergenza, ho:
∫(2x+2y+2z)dxdydz
per effettuare il calcolo conviene fare un cambio di variabile, passando alle coordinate sferiche.
Ma quali prendo?
x=r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ
oppure
x=1 + r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ
???
Inoltre, ho qualche problema nel determinare gli estremi degli intervalli di ciascuna delle nuove variabili...
ϕ e θ variano rispettivamente su [-π,π] e [0,π], no?
ed r invece? su [0, 1+sinθ cosϕ] ?
Infine, per semplificare il tutto, si sarebbe potuto traslare il campo F nel punto (1,0,0), ottenendo dunque F'=(x²+2x+1,y²,z²) avente divergenza 2x+2y+2z+2, ed usando dunque le coordinate sferiche proprio nell'origine? E' corretto traslare il campo vettoriale?
integrale del flusso F=(x²,y²,z²) sulla sfera di raggio r=2 e centro in C=(1,0,0)
Applicando il teorema della divergenza, ho:
∫(2x+2y+2z)dxdydz
per effettuare il calcolo conviene fare un cambio di variabile, passando alle coordinate sferiche.
Ma quali prendo?
x=r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ
oppure
x=1 + r sinθ cosϕ
y=r sinθ sinϕ
z=r cosθ
???
Inoltre, ho qualche problema nel determinare gli estremi degli intervalli di ciascuna delle nuove variabili...
ϕ e θ variano rispettivamente su [-π,π] e [0,π], no?
ed r invece? su [0, 1+sinθ cosϕ] ?
Infine, per semplificare il tutto, si sarebbe potuto traslare il campo F nel punto (1,0,0), ottenendo dunque F'=(x²+2x+1,y²,z²) avente divergenza 2x+2y+2z+2, ed usando dunque le coordinate sferiche proprio nell'origine? E' corretto traslare il campo vettoriale?
![F^{1}=[(x+1)^{2},y^{2},z^{2}]](/forum/latexrender/pictures/ba201f671d62139b76f5a2dde0f61ed8.png "F^{1}=[(x+1)^{2},y^{2},z^{2}]")
e potremo integrare con i limiti di integrazione "normali"; ovvero 
![=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ -r^{2}\cos \theta +r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+\frac{r^{3}\sin ^{2}\theta }{2} \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}](/forum/latexrender/pictures/6e38176ee2d0d06f5eec40dc9c3dc493.png "=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ -r^{2}\cos \theta +r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+\frac{r^{3}\sin ^{2}\theta }{2} \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}")
![=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ 2r^{2}+r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+r^{3}\sin \theta \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}](/forum/latexrender/pictures/db6ccc6e188f308c5053c0a35ab7ba59.png "=2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{\left[ 2r^{2}+r^{3}(\cos \phi +\sin \phi )\left( \frac{1}{2}-\sin \theta \cos \theta \right)+r^{3}\sin \theta \right]_{0}^{\pi }\,d\phi }}")
![\Phi =2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{2r^{2}d\phi }}\,\,=2\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2r^{2}\phi \right]_{0}^{2\pi }dr}=2\int\limits_{0}^{2}{4\pi r^{2}dr}=8\pi \left[ \frac{r^{3}}{3} \right]_{0}^{2}=\frac{64}{3}\pi](/forum/latexrender/pictures/d45dfd47535b4f318aebff4e790ff7a6.png "\Phi =2\int\limits_{0}^{2}{dr\int\limits_{0}^{2\pi }{2r^{2}d\phi }}\,\,=2\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2r^{2}\phi \right]_{0}^{2\pi }dr}=2\int\limits_{0}^{2}{4\pi r^{2}dr}=8\pi \left[ \frac{r^{3}}{3} \right]_{0}^{2}=\frac{64}{3}\pi")
... ma poi controllo con un CAS 