ElectroYou

Salve,

Avrei una piccola domanda a cui non trovo risposta.

Come mai (1/3)*ln(1+x^3) =(x^3)/3 (uguale da leggere come "uguale all'incirca").

grazie

Occhio che questo vale solo per valori della x positivi e vicini allo zero.

Sento puzza di approssimazione funzionale (in questo caso nell'intorno dello zero...).

Se conosci l'approssimazione di Taylor ( http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor ) credo tu possa risponderti da solo.

Altrimenti facciamo due conti...

Come ti ha gia' spiegato lucbie, la tua relazione dovrebbe essere scritta come

$\ln (1+x^{3})\approx x^{3}$

ed è vera solo sotto la condizione che |x|<1

in sostanza non è altro che il primo termine dello sviluppo in serie del logaritmo

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+...\,\,\,\,\,\,\,\left| x \right|<1$

che nel tuo caso particolare diventa

$\ln (1+x^{3})=x^{3}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{9}}{3}+...\,\,$

sempre con la stessa condizione su x, ovvero |x|<1, in quanto, se vera, tanto di piu' lo sara' per il suo cubo!

: zqq.gif (11.48 KiB) Osservato 11814 volte

L'approssimazione dipende da quanto piccolo è x (mancando gli altri termini dello sviluppo)
per curiosita' ti ho plottato la funzione log(1+x^3) in nero e tre curve approssimanti con 1(x^3), 2 e 3 termini della serie

ERRATA CORRIGE:

lucbie ha scritto:vale solo per valori della x positivi e vicini allo zero

Pardon... quel "positivi" non ci andava affatto. :oops:

Direi che la spiegazione di Renzo, come al solito, è più che completa. =D>

Adesso ci aspettiamo tutti che LoRenzoDF il magnifico faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev e qualche altra famiglia di polinomi ortogonali.

Grazie a tutti, perfettamente tutti molto chiari.

Grazie ancora.

IsidoroKZ ha scritto:Adesso ci aspettiamo tutti che RenzoDF faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev

Hai ragione, si puo' approfittare per un ripasso

Considerando sempre la funzione

$y(x)=\ln (1+x^{3})$

scelto un polinomio interpolante di secondo grado n=2,
a) trasformato l'intervallo [0,1] nell'intervallo "normale" [-1,1]
b) ricavate le ascisse degli zeri del polinomio di Chebyshev di grado n+1

$x_{k}=\frac{b-a}{2}\cos \left( \frac{2k+1}{2\left( n+1 \right)}\pi \right)+\frac{a+b}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,k=0,1,\,...\,n$

c) le usiamo come punti base per costruire il polinomio interpolante in forma lagrangiana, del tipo

$P(x)=\sum\limits_{j=0}^{n}{\left[ \prod\limits_{\begin{smallmatrix} k=0 \\ k\ne j \end{smallmatrix}}^{n}{\frac{x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}} \right]y_{j}}$

numericamente, usando SpeQ

: CH1.gif (26.35 KiB) Osservato 11720 volte

otteniamo un polinomio

$P(x)\cong 0,958\,x^{2}-0,272\,x+0,0142$
che plottato insieme alla funzione e all' errore R(x) (amplificato 10 volte), evidenzia come tale scelta dei punti base ci permetta di ridurre l'errore all'interno dell'intervallo di approssimazione.

: CH2.gif (13.22 KiB) Osservato 11721 volte

NB per una breve introduzione ai polinomi interpolanti si veda per esempio
http://www3.matapp.unimib.it/corsi-2009 ... ione11.pdf

IsidoroKZ ha scritto:Adesso ci aspettiamo tutti che LoRenzoDF il magnifico faccia anche lo sviluppo in serie con i polinomi di Chebyshev e qualche altra famiglia di polinomi ortogonali.

Porca paletta, lo ha fatto davvero
Renzo, ma da che razza di pianeta provieni?
Perdinci, ogni tua risposta è un'esplosione di scienza.
Admin, diccelo una volta per tutte se Renzo esiste veramente :!:

Saluti

sebago ha scritto:[..]
Admin, diccelo una volta per tutte se Renzo esiste veramente

"Ah, ecco un altro se n'è accorto!
Te l'avevo detto, Nicolò, di renderlo più umanamente credibile!"

In effetti cari utenti, RenzoDF è un programma che Nicolò sta sviluppando per fare concorrenza a Wolfram Alpha :!:

Dopo Chebyshev non è stato più possibile tenerlo nascosto!

Rimango davvero impressionato quando capito su questo Forum.
Sfido chiunque a trovare in rete un forum così,CON GENTE COSÌ

ElectroYou

Domanda logaritmo naturale.

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Re: Domanda logaritmo naturale.

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