ElectroYou

Buongiorno,

il mio dubbio è il seguente:

per due parametri, "A" e "B", conosco valore medio e deviazione standard (i due parametri sono variabili aleatori normali).
Devo valutare un terzo parametro, rapporto di "A" e "B" , C = A/B.

Banalmente, prendo i valori medi e li rapporto ma cosa posso dire per la deviazione standard ?

Grazie in anticipo per eventuali risposte

Bella domanda :-)

... per il prodotto il discorso sarebbe piu' facile

... per il rapporto si considera normalmente una relazione approssimata, ovvero, indicato con

$C=\frac{A}{B}$

la variabile rapporto, avremo che per la media si dovrebbe usare la seguente relazione

$\mu _{C}\approx \frac{\mu _{A}}{\mu _{B}}\left[ 1+\frac{\sigma _{B}}{\mu _{B}}\left( \frac{\sigma _{B}}{\mu _{B}}-\rho \frac{\sigma _{A}}{\mu _{A}} \right) \right]$

supponendo comunque che le due variabili aleatorie non siano correlate, cioè $\rho =0$

allora la possiamo semplificare come

$\mu _{C}\approx \frac{\mu _{A}}{\mu _{B}}\left[ 1+\frac{\sigma _{B}^{2}}{\mu _{B}^{2}} \right]$

si deve comunque verificare un'altra condizione per poter usare il semplice rapporto fra le due medie, come hai fatto tu, ovvero, se

$\mu _{B}^{2}\gg \sigma _{B}^{2}\quad \to \quad \mu _{C}\approx \frac{\mu _{A}}{\mu _{B}}$

per la varianza invece, la relazione è la seguente

$\sigma _{C}^{2}\approx \frac{\mu _{A}^{2}}{\mu _{B}^{2}}\left( \frac{\sigma _{B}^{2}}{\mu _{B}^{2}}+\frac{\sigma _{A}^{2}}{\mu _{A}^{2}}-2\rho \frac{\sigma _{A}\sigma _{B}}{\mu _{A}\mu _{B}} \right)$

e anche in questo caso supponendo X e Y non correlate, potremo semplificare con

$\sigma _{C}^{2}\approx \frac{\mu _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}+\mu _{B}^{2}\sigma _{A}^{2}}{\mu _{B}^{4}}$

gentile Renzo,

anzitutto la ringrazio.
Puoi dirmi dove trovare (preferibilmente in rete) la teoria che è dietro l'approssimazione fatta per la media e la varianza della variabile C ? l'potesi di variabili non correlate è valida nel mio caso.

grazie in anticipo per eventuali risposte.

Indicazioni su come trattare questi tipi di problemi si trovano, tipicamente, nei libri di teoria della probabilità, anche se forse in modo poco evidente. Un modo generale di affrontare questo tipo di problemi in cui una variabile

è funzione di

variabili casuali $(X_1,\ldots,X_N)$ è quello di sviluppare

con una serie di Taylor centrata nei valori medi delle variabili $(X_1,\ldots,X_N)$ . Per esempio, per la tua richiesta si può scrivere

$C=\frac{\mu_A+\Delta A}{\mu_B+\Delta B} = \frac{\mu_A(1+\Delta A/\mu_A)}{\mu_B(1+\Delta B/\mu_B)}$

dove $\Delta A$ e $\Delta B$ sono due variabili casuali a valor medio nullo e varianza $\sigma^2_A$ e $\sigma^2_B$ , la stessa delle variabili

e

. Sviluppando il denominatore in serie di Taylor e troncandola al secondo ordine si ha (in pratica, stiamo assumendo che in media $|\Delta A/\mu_A|\ll 1$ )

$C=\frac{\mu_A}{\mu_B}\left(1+\frac{\Delta A}{\mu_A}\right)\left[1-\frac{\Delta B}{\mu_B}+\left(\frac{\Delta B}{\mu_B}\right)^2\right]$

Sviluppando il prodotto, e trascurando i termini di ordine superiore al secondo, si ottiene

$C=\frac{\mu_A}{\mu_B}\left[1+\frac{\Delta A}{\mu_A}-\frac{\Delta B}{\mu_B}+\left(\frac{\Delta B}{\mu_B}\right)^2-\frac{\Delta A}{\mu_A}\frac{\Delta B}{\mu_B}\right]$

Ora, per definizione, il valor medio di

è $\mu_C = \mathbf{E}(C)$ dove l'operatore $\mathbf{E}(\cdot)$ denota la media d'insieme.

$\mathbf{E}(C)=\frac{\mu_A}{\mu_B}\left[1+\frac{\mathbf{E}(\Delta A)}{\mu_A}-\frac{\mathbf{E}(\Delta B)}{\mu_B}+\frac{\mathbf{E}[(\Delta B)^2]}{\mu_B^2}-\frac{\mathbf{E}(\Delta A\Delta B)}{\mu_A\mu_B}\right]$

Ricordando che $\mathbf{E}(\Delta A)=\mathbf{E}(\Delta B)=0$ , che $\mathbf{E}[(\Delta B)^2]=\sigma^2_B$ (per definizione di varianza) e che $\mathbf{E}(\Delta A\Delta B)/(\sigma_A\sigma_B)=\rho$ , e sfruttando le proprietà di linearità dell'operatore di media, si ricava l'equazione data da RenzoDF. Compito a casa per Zeitung: ricavare l'espressione per la varianza $\sigma^2_C$ ;-)

Nel caso di un esperimento, poi, stimi la varianza di A e B a partire dalla varianza campionaria (il quadrato della deviazione standard) di un insieme di misure (qui bisognerebbe dire un po' di cose su questa stima, specialmente in presenza di rumori a memoria lunga non stazionari, tipo il flicker, ma il discorso si farebbe molto luuuuuungo).

Se stai facendo delle misure, ti potrebbe essere utile dare un 'occhiata qui.

La mia risposta si riferiva a due variabili aleatorie con una distribuzione generica, e in sostanza derivano, come ti è già stato detto da DirtyDeeds, da uno sviluppo in serie di Taylor + Delta method , vedi per esempio
http://www.stanford.edu/class/cme308/no ... Method.pdf
e anche
http://books.google.it/books?id=lWv_4JX ... &q&f=false
pagina 159 ...163.
Per due variabili aleatorie normali ci dovrebbe essere relazioni particolari relative ad una distribuzione Cauchy-like, dovute a Kamerud ma non sono riuscito a pescare il documento

BTW i miei Complimenti a DirtyDeeds , ormai posso tranquillamente andarmene alle Seychelles "a svernare" ... qui a SB oramai ci son solo 10 gradi e comincia a tirare un fastidioso vento da NO :mrgreen:

E poi chi mi corregge l'uso troppo disinvolto dei teoremi di elettrotecnica?! ;-)

Però, quanto a freddo, non ti lamentare, eh!... stamattina ho dato la prima "grattata" al parabrezza della macchina! Altro che 10 C!

chiedo scusa per il ritardo con cui ringranzio per il supporto dato :ok:

Le indicazioni fornite sono state molto utili !

salve
ho trovato una formula che si basa sulla teoria della propagazione degli errori per risolvere il porblema della devianza di un rapporto, che ne dite? non è più semplice?

X= A [elevato a j]x B [elevato a i]
(devianza (x)/ X)[elevata alla 2] = i (devianza(a)/A) [elevato alla 2] + j (devianza(b)/B) [elevato alla 2]

i e j sono in valore assoluto. Quindi per il rapporto X = A/B

i = j = 1

A me sembra più semplice, facile da capire e da applicare. Cosa ne pensate

p.s. hiedo scusa se non so mettere qui formule o immagini

ElectroYou

Sulla deviazione standard

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