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Funzioni logiche

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 12 giu 2011, 11:55

clorofabio ha scritto:
rusty ha scritto:{Y}=\overline{AB+C}+{\overline{{A}+\overline{B}}
\overline{AB}\,\overline{C}+\overline{A}B
(\overline{A}+\overline{B})\overline{C}+\overline{A}B
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}B


Allora quando io ho la linea continua di negazione la prima cosa è che la devo spezzare giusto?
Comunque io lo proseguita in questa maniera anche se mi sento di aver sbagliato nuovamente:

\overline{A}\,\overline{C}+\overline{C}+\overline{A}+(\overline{B}+{B})=
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{A}+\overline{C}+1=  1

perché una lettera o un numero (binario) sommato a 1 da sempre 1.


Scusa ma quale logica ti fa' passare da qui
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}B

a qui?
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{C}+\overline{A}+(\overline{B}+{B})

Assolutamente NO! #-o
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[22] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenteclorofabio » 12 giu 2011, 13:00

rusty ha scritto:Scusa ma quale logica ti fa' passare da qui a qui?


Non è possibile fare la somma di (\overline{B}+{B})? perché è stato quello che mi permesso di passare "(con errore)" da

\overline{A}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}

a

\overline{A}\,\overline{C}+\overline{C}+\overline{A}+(\overline{B}+{B})
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[23] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 12 giu 2011, 17:24

Potresti fare la somma se i termini che li accompagnano (che sono in AND con loro) fossero uguali, raccogliendoli... ma non è così!
perché \overline{B} e B sono in AND il primo con \overline{C} e il secondo con \overline{A} !

Ti do la soluzione che semplifica ancora di più l'espressione.

A partire da
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}

a prima vista potrebbe sembrare che non è ulteriormente semplificabile, ma con un piccolo artificio vediamo che in effetti si puo' moltiplicare il primo termine per 1, e non cambia nulla, ma anche moltiplicandolo per (\overline{B} + B) non cambia nulla, perché (\overline{B} + B) = 1

Diventa quindi:

(\overline{A}\,\overline{C})(\overline{B} + B)+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}
\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}
\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}{B}+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}
\overline{A}B\,(\overline{C}+1)+\overline{B}\,\overline{C}\,(\overline{A}+1)
\overline{A}B+\overline{B}\,\overline{C}

Riassumendo dalla domanda iniziale, la soluzione completa è:
{Y}=\overline{AB+C}+{\overline{{A}+\overline{B}}
\overline{AB}\,\overline{C}+\overline{A}B
(\overline{A}+\overline{B})\overline{C}+\overline{A}B
\overline{A}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}B
(\overline{A}\,\overline{C})(\overline{B} + B)+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}
\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}
\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}{B}+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}
\overline{A}B\,(\overline{C}+1)+\overline{B}\,\overline{C}\,(\overline{A}+1)
\overline{A}B+\overline{B}\,\overline{C}

Devi fare prima di tutto piu' pratica con le leggi di De Morgan, e ripassare bene le identità e gli assorbimenti.
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[24] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 12 giu 2011, 19:41

Dimenticavo, se hai qualche dubbio su qualche passaggio chiedi pure!

Cosa studi e dove? Curiosita'... ;-)
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[25] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenteclorofabio » 12 giu 2011, 20:08

Perdonami la mia insistenza ma voglio capire bene. Quale proprietà hai applicato per ottenere questi passaggi (il quarto e il settimo)?

(\overline{A}\,\overline{C})(\overline{B} + B)+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}

\overline{A}B\,(\overline{C}+1)+\overline{B}\,\overline{C}\,(\overline{A}+1)

rusty ha scritto:Devi fare prima di tutto piu' pratica con le leggi di De Morgan, e ripassare bene le identità e gli assorbimenti.


Purtroppo questi ed altri tre easercizi come questo mi propone il libro. Comunque il problema più grande per me è applicare i teoremi e le proprietà che fanno parte dell'algebra di Boole perché fin quando si tratta di una sola variabile non ho problemi ma quando le variabili iniziano ad esere tre ed oltre ho proprio difficoltà ad applicare i teoremi.
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[26] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenteclorofabio » 12 giu 2011, 23:57

Sono solo diplomato in elettronica e ho studiato in un ITI. L'elettronica digitale lo fatta solo nel terzo anno :( ma (non per volere mio) in maniera molto superficiale e veloce senza mai fare una prova di laboratorio: si da più priorità all' elettronica analogica. "PURTROPPO" devo fare elettronica come hobby e non come lavoro perché la mia occupazione è tutt'altra cosa dall'elettronica, tra l'altro in azienda (per principio) non esiste il fatto che devono formare nuovi assunti almeno per quanto riguarda l'elettrico inoltre qua al sud per non dire che l'elettronica è inesistente al livello proprio pratico dico che c'è poco e niente.
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[27] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 14 giu 2011, 15:58

clorofabio ha scritto:Perdonami la mia insistenza ma voglio capire bene. Quale proprietà hai applicato per ottenere questi passaggi (il quarto e il settimo)?

(\overline{A}\,\overline{C})(\overline{B} + B)+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}{B}

\overline{A}B\,(\overline{C}+1)+\overline{B}\,\overline{C}\,(\overline{A}+1)



Scusa, mi ero perso la discussione ;-)
Le cose che si possono fare per ridurre espressioni logiche sono le solite, simili alle regole dell'aritmetica, solo che devi realizzare alcune proprieta' che solo i sistemi binari hanno.
Ogni simbolo ha in se' il significato condizione logica o stato logico, puo' essere vero o falso, oppure se vuoi '1' e '0', mentalmente devi immaginare di sostituire al simbolo una condizione e fare delle elaborazioni molto semplici.

OR (addizione)
L'addizione in algebra Booleana è l'operazione di OR. Si chiama OR proprio perché il risultato dell'espressione è vero se ALMENO uno degli addendi è vero. Nella seguente, quando leggi, immagina di dire "tutto è vero se è vera la prima o la seconda o la terza ecc... (OR),vedi da te che una sola vera ti basta per dire che l'espressione è vera, senza continuare a guardarle tutte!

0+0+1+0+0+1+0 = 1
0+A+0+B\overline{C}+1+\overline{CD} = 1 (basta quell'uno, ti basta per dire che è vera sempre)

Quando hai nella stessa espressione un elemento in OR con il suo negato, il risultato non può che essere vero sempre.

\overline{D} + D = 1 sempre! perché se D fosse vero basterebbe lui per dire che tutto è vero (1), mentre se D fosse falso il suo negato sarebbe vero, e questo è sufficiente per dire che tutto è vero (1), non ci sono altri casi da considerare, quindi possiamo dire che una variabile in OR con il suo negato è sempre vero, o 1, scrivi al suo posto 1.

\overline{D} + D = 1

Vediamo un esempio.

A + B\overline{A} + CB + \overline{A} = A+\overline{A} +B\overline{A} + CB = 1+B\overline{A} + CB=1

Attenzione, l'uno '1' in OR va sempre riportato, non scriverlo significa fare un grosso errore, e nell'esempio precedente non ci avrebbe permesso di arrivare alla soluzione banale che tutto è '1' o vero.

L'elemento nullo '0' invece in OR con altri elementi puo' essere omesso, come si fa' di solito in aritmetica.

A + 0 = A Qualsiasi sia A.

AND (moltiplicazione)
La moltiplicazione segue le regole che gia' conosciamo, riducendosi perlopiu' a moltiplicazioni per 0 e per 1, che sappiamo quanto danno, in piu' in algebra booleana abbiamo degli elementi negati, e qui la legge è semplice, ricordando sempre che il prodotto AND significa che l'espressione è vera se e solo se TUTTI gli elementi son veri, ne basta uno falso per mandare l'espressione a '0' o a 'falso'.
Come per la addizione (OR) nella moltiplicazione (AND) devi immaginare di dire, quando leggi, SE è vero A e B e C ...ecc (AND)... allora è tutto vero.

A\,\overline{A} = 0 sempre
immagina di porre prima A=1, 1 AND 0 è 0, se poni A=0, 0 AND 1 = 0

A\,\overline{A}\,B\,\overline{C} = 0 comunque sempre 0, ricorda, ne basta uno falso ed è tutto falso

AA = A beh, se A=1, 1 AND 1 è 1=A, quindi una variabile per se stessa ripetuta n volte da' sempre il valore della singola variabile.

AAAAAAAA = A
AAAA\overline{A}\,AAAAA = 0 qui è chiaro ormai perché è falsa
AABBCCDD = ABCD accoppia i singoli risultati AA=A, BB=B ecc...

vale la proprietà commutativa per la AND per cui puoi scambiare posto quanto ti pare e non cambia nulla.
CABACBCCBAAC = AAAABBBCCCCC = ABCD

Un'altra proprieta' importante per fare delle semplificazioni è la distribuzione del prodotto.

AB + \overline{A}\,B

Puoi raccogliere i termini identici e metterli in evidenza

AB + \overline{A}\,B = (A + \overline{A})\,B
come vedi eseguendo il prodotto ritorniamo alla espressione iniziale, quindi le due quantita' a sinistra e a destra dell'uguale sono identiche.
Continuando, sappiamo gia' a quanto è uguale una variabile in OR con la sua negata, è sempre '1'.
AB + \overline{A}\,B = (A + \overline{A})\,B =(1)B

1 AND B, da' sempre B, perché è il valore di B che determina il risultato. Se B=0, 1 AND 0 da' 0=B, se B=1, 1 AND 1 = 1=B, sempre e comunque!

In tutti gli esercizi che vedrai le regole da applicare sono queste senplici regole, solo che possono presentarsi in vesti apparentemente piu' complesse, ma guardandole bene non sono altro che queste che abbiamo gia' visto.

ABC + A\overline{BC} = A\,(BC + \overline{BC}) = A\,(1) = A

Qui devi pensare sempre che le regole che ho scritto si possono estendere a blocchi di termini identici, non solo termini identici, per applicare la proprietà distributiva, non importa cosa sia in se' il blocco, ce ne preoccuperemo dopo. Ci vuoi certo un occhio un attimino allenato per vederlo, ma con l'esercizio verra' tutto naturale ed automatico.

\overline{A}\,\overline{B}\,C + A\overline{B}\,C
Il blocco che si ripete è \overline{B} ma ne vediamo uno più grande che si ripete, \overline{B}\,C e devi in generale prendere il blocco più grande per effettuare una distribuzione efficace.

\overline{A}\,\overline{B}\,C + A\overline{B}\,C = (\overline{A}+A)\,\overline{B}\,C = (1)\,\overline{B}\,C = \overline{B}\,C

De Morgan
In aggiunta a queste semplici regole, si usano le leggi di questo signore, che ci aiutano a trasformare delle espressioni in OR in espressioni in AND e viceversa. Possono essere applicate o meno, non è obbligatorio, è questione di semplificazione, se il risultato è piu' semplice e diviene esplicito applicare le regole base che abbiamo visto precedentemente si applicano altrimenti no.
Le usiamo per spezzare linee di negazione continue, che abbracciano piu' termini, isolandoli in termini piu' semplici.

\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B} da AND a OR
\overline{C+D} = \overline{C}\,\overline{D} da OR a AND

Quando hai al posto di un termine un blocco di piu' termini la regola rimane invariata, pensa solo ai blocchi come singole variabili, e non sbaglierai mai.

\overline{\overline{AB} + \overline{C}}

Qui abbiamo una linea contigua di negazione che abbraccia due termini (macro termini diciamo) che sono

\overline{AB} e \overline{C}, pensa a questi due come unici termini, dagli un nome diverso se vuoi, ed applica De Morgan.

X = \overline{AB} e Y = \overline{C}
\overline{\overline{AB} + \overline{C}} = \overline{X + Y} = \overline{X}\,\overline{Y}

risostituendo avremo:
\overline{X}\,\overline{Y} = \overline{\overline{AB}}\,\overline{\overline{C}} = ABC

Con blocchi piu' complessi usa sempre questa sostituzione, eseguendo prima l'operazione più esterna, in questo caso la linea contigua che abbracciava tutti i termini.

Se avessimo avuto:
\overline{AB + \overline{C}}

facendo la sostituzione, avremmo avuto X=AB, Y=\overline{C}
\overline{AB + \overline{C}} = \overline{X + Y} = \overline{X}\,\overline{Y}

risostituendo:
\overline{X}\,\overline{Y} = \overline{AB}\,\overline{\overline{C}} = \overline{AB}\,C

Ora potremmo continuare ad applicare De Morgan al blocco \overline{AB}.
\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}

non dimenticandosi di C, in totale avremmo avuto:
\overline{AB + \overline{C}} = (\overline{A} + \overline{B})\,C

Tutto questo per quanto riguarda De Morgan.

Ulteriori "trucchi" si basano sempre sulle regole base, giocando un po' con i termini.

Moltiplicare per 1 non cambia il termine, ma 1 puo' essere scritto in vari modi in algebra booleana.

1, (A + \overline{A}), (1 + \overline{B}), (1 + \overline{AB}), (1+\overline{C}+\overline{D}), ecc...

nella nostra espressione iniziale dell'esercizio (il tuo esercizio) avevamo tre blocchi di due termini, in cui comparivano degli elementi comuni a due a due, volendo quindi applicare una semplificazione volevo avere dei termini identici in tutti e tre i blocchi, cosi' da accorparli!

\overline{A}\,\overline{C}+ \overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B

Volendo far comparire altri B e B negato, posso moltiplicare il primo termine per (B+\overline{B}) ovvero per 1 e non cambia nulla, se non il fatto che i blocchi identici ora ci sono!

\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B

Li vedi? I termini (o blocchi) identici ora ci sono, \overline{A}\,B tra il primo e l'ultimo, \overline{B}\,\overline{C} tra il secondo ed il terzo. Possiamo quindi accorparli e mettere in evidenza i termini identici, ricordandoci che l'1 in OR si scrive sempre. Per verifica puoi sempre rifare i prodotti misti e devi riavere l'espressione iniziale, allora sara' tutto corretto.

Mettendo in evidenza arriviamo quindi a:
\overline{A}\,B(\overline{C}+1)+\overline{B}\,\overline{C}(\overline{A}+1)

Qui, applicando le semplici regole di addizione (OR) nelle parentesi, arriviamo al risultato.

Mi sono dilungato forse un po' troppo, ho sicuramente tralasciato qualcosa, ma è difficile riassumere in una risposta tutte le tecniche di semplificazione: si basano tutte su regole semplicissime come vedi, quando non le vedi, accorpa i macro termini, dagli un nome diverso, fai le tue operazioni, e risostituisci.

Un'ultima regola molto potente è la doppia negazione, ma te la risparmio per ora... e' potente ma a volte richiede molti calcoli, e non sempre è utile.
Ultima modifica di Foto Utenterusty il 14 giu 2011, 16:23, modificato 3 volte in totale.
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[28] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 14 giu 2011, 16:15

Bello! Fanne un articolo che serva da riferimento, scritto in modo discorsivo come questo post.
Aggiungerei la proprieta` di distribuzione della somma, e forse le due sezioni Addizione (OR) e Moltiplicazione (AND) le chiamerei OR (addizione) e AND (moltiplicazione) per mettere in evidenza i concetti importanti, per il resto direi che vada benissimo.
Se vuoi mettere altri esempi, c'e` anche l'altro thread viewtopic.php?f=7&t=25936 che ne fornisce in abbondanza!
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[29] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 14 giu 2011, 16:20

Grazie Isidoro, l'ho scritto di getto senza guardare troppo alla forma, un piccolo vademecum :ok:

Faccio tesoro delle tue indicazioni, e pensero' magari a fare un articolo piu' lineare con alcuni esempi dal post che mi hai segnalato (ad un certo punto non sapevo piu' cosa inventarmi) ;-)

Spero che qualcuno ne trarra' beneficio.
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[30] Re: Funzioni logiche

Messaggioda Foto Utenterusty » 14 giu 2011, 19:27

Dimenticavo ,per clorofabio, conosci le mappe di karnaugh?
Potrebbero esserti molto utili per verificare alcune semplificazioni particolarmente complesse... anche queste sono uno strumento molto potente, anche se si usano per la sintesi di reti piu' che per l'analisi di espressioni logiche... ma sono parenti prossime.

Facci sapere,
Ciao O_/
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