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Equazioni differenziali

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[11] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 18 dic 2011, 18:51

Per la derivata, come giustamente suggerito da Foto UtenteRenzoDF si può usare \prime, però forse è meglio metterlo come apice con ^:

Codice: Seleziona tutto
y^\prime


y^\prime
It's a sin to write sin instead of \sin (Anonimo).
...'cos you know that cos ain't \cos, right?
You won't get a sexy tan if you write tan in lieu of \tan.
Take a log for a fireplace, but don't take log for \logarithm.
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[12] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 18 dic 2011, 19:09

DirtyDeeds ha scritto:Per la derivata, ... forse è meglio metterlo come apice con ^:

Codice: Seleziona tutto
y^\prime


Hai perfettamente ragione! :ok:
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[13] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentepalliit » 19 dic 2011, 10:15

Gia1988 ha scritto: fino a calcolare la soluzione x=.....detta da pallit sono riuscito


...dirlo prima? ;-)
Comunque riguardando le mie conclusioni temo di aver fatto un po' di casino, non sono molto convinto che siano giuste
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[14] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 19 dic 2011, 10:41

palliit ha scritto:... riguardando le mie conclusioni temo di aver fatto un po' di casino, non sono molto convinto che siano giuste

Si, lo penso anch'io; tanto per cominciare hai escluso due soluzioni certe y=1 e y=-1 ;-)
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[15] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentepalliit » 19 dic 2011, 11:19

(e anche y=0 ...)
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[16] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 19 dic 2011, 11:39

Forse non è importante ma l'esercizio recita proprio:" per quali valori del dato iniziale, la soluzione dell'equazione differenziale
y\prime(x)=\ y^{4}-y^{2},
y(0)=\ y_{0}
esiste sull'intervallo [0,+inf)?
quindi forse non si deve calcolare la soluzione in modo esplicito...
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[17] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 19 dic 2011, 21:38

Io credo che si procede in questo modo:
dato il problema:

y\prime(x)=\ y^{4}-y^{2},
y(0)=\ y_{0}

chiamo :
f(y)=y^{4}-y^{2}=y^{2}(y^{2}-1)

e determino i punti stazionari e il suo segno.
quindi i punti stazionari sono:

y=0,1,-1

ora nell'intervallo [-1,+1] la soluzione è costretta a rimanere all'interno di tale intervallo (soluzioni stazionarie) quindi ho una soluzione globale;
allo stesso modo per gli y_{0}<-1
poiché la funzione è crescente

Per gli y_{0}>1 la funzione è crescente e non esiste soluzione globale.
Per determinare il comportamento della funzione in quest'ultimo caso si può' utilizzare il teorema del confronto.
Puo' essere un modo per la risoluzione secondo voi?
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[18] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentepalliit » 19 dic 2011, 22:07

Non so, in effetti io ho provato a rivedere le cose e seguendo un altro ragionamento ho trovato che (considerando anche i tre integrali singolari) c'è una soluzione per y_{0}\leq 1 , ma è da un po' che non maneggio equazioni differenziali, è meglio se la conferma ti (e mi) arriva da qualcuno più credibile
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[19] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto UtenteGia1988 » 19 dic 2011, 22:12

Comunque grazie mille per l'interessamento
:)
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[20] Re: Equazioni differenziali

Messaggioda Foto Utentepalliit » 20 dic 2011, 13:55

Comunque, se tracci il grafico della funzione: g(y)=\frac{1}{y}+\frac{1}{2}ln\left | \frac{y-1}{y+1} \right | vedi chiaramente che x(y)=g(y)-g(y_{0}) fornisce come immagine degli intervalli: ]-\infty,-1[ , ]-1, 0[ e ]0, +1[ insiemi ognuno dei quali contiene \mathbb{R}_{0}^{+} per qualunque scelta di y_{0} presa nel medesimo intervallo, cosa che non si può dire per l'intervallo ]+1, +\infty[ a cui corrisponde un’immagine limitata superiormente. Se tengo conto anche dei tre integrali singolari, arrivo alla conclusione che ti ho detto.
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