ElectroYou

Ciao a tutti volevo chiedervi una cosa.
Studiando i sistemi differenziali per la ricerca della stabilita' un criterio mi dice che una volta calcolati gli auto valori del sistema attraverso la matrice dei coefficienti se questo ha parte reale negativo allora e' asintoticamente stabile, se ha parte reale negativa non e' as. Stabile se ha parte reale nulla nn posso concludere nulla.
C'è una qualche spiegazione in merito ? Nel senso..perché se il mio autovalore ha parte reale nulla nn posso concludere nulla sulla stabilita' e perché se ha parte reale negativa si??
Grazie mille !!

In generale la soluzione del sistema è la combinazione lineare di esponenziali aventi come argomento gli autovalori del sistema. Se hai il generico autovalore $\lambda = \alpha + i\omega$ (molteplicità uno per semplicità) questo dovrebbe corrispondere al modo di evoluzione del sistema $u(t) = e^{\alpha t} \cos\omega t$ (forse sull'argomento del coseno c'è un quadrato non ricordo con precisone ma non cambia molto, ci sono anche delle costanti moltiplicative che dipendono dalle condizioni iniziali del sistema ma lasciamo perdere).
Da qui vedi che se $\alpha$ ha segno negativo l'andamento dell'uscita è smorzato per cui tende a zero ed è stabile, viceversa se è positivo diverge. Se $\alpha$ è nullo hai solo la parte oscillante per cui il sistema continuerà a oscillare senza.

Perdona la dimostrazione poco rigorosa ma l'idea è questa O_/

Ciao, penso si stia parlando di Teoria dei Sistemi, ho sostenuto l'esame qualche settimane fa, ti spiego subito il perché è così.

Si parla di evoluzione libera dello stato, dunque di un'equazione matriciale nelle variabili di stato che in forma implicita può essere scritta in funzione della matrice [A] come:
$\left[ \dot{X} \right] = \left[ A \right] \left[ X \right]$
(sto assumendo naturalmente che si parli di tempo continuo, comunque a tempo discreto il discorso si ripete, sebbene con alcune variazioni!)

A questo punto è noto che in forma esplicita il sistema, tramite trasformazione diretta, ammette evoluzione libera:

$\left[ X \left( t \right) \right] = e^{ \left[ A \right] t} \left[ X \left( t_{0} \right) \right]$

L'esponenziale: $e^{ \left[ A \right] t}$ prende il nome di esponenziale di matrice ed è una matrice quadrata!!! Così come lo è la matrice A!!! Inoltre ammette decomposizione spettrale, tramite una base di autovettori destri, coincidente con quella della matrice A e una base di autovettori sinistri coincidente con quella di A, siano le matrici aventi per colonne gli autovettori destri di A: U e la matrice che ha per righe gli autovettori sinistri di A: V. Per normalizzazione una delle due matrici va costruita in modo tale che il prodotto $\left[ V \right] \left[ U \right] = \left[ I \right]$

Allora la matrice A può esser scritta in forma diagonale, detti $u_{i}$ e $v_{i}^{T}$ gli i-esimi autovettori (destro, sinistro rispettivamente) associati all'autovalore $\lambda_{i}$ , risulta:

$e^{ \left[ A \right] t} = \sum^{n}_{k=1} e^{\lambda_{k} \cdot t} u_{k} \cdot v_{k}^{T}$

(assunta n la dimensione dello spazio di stato)

La dimostrazione deriva dalle proprietà di diagonalizzabilità di A e segue per semplice osservazione dell'esponenziale di una matrice diagonale. La base di autovettori destri è inoltre una base per lo spazio di stato, che può scriversi come combinazione lineare: $x = \sum^{k=1}_{n} \alpha_{k} u_{k}$

Si prova quindi moltiplicando a sinistra per l'i-esimo autovettore sinistro che il coefficiente $\alpha_{k}$ dell'i-esima variabile di stato è il suo prodotto per tale autovettore, quindi dall'espressione dell'evoluzione libera dello stato, per la normalizzazione fatta sulle matrici U e V, chiamato $c_{k}=v_{k}^{T}$ risulta:

$x_{lib} \left( t \right) = \sum^{n}_{k=1} e^{\lambda_{k} \cdot t} u_{k} \cdot v_{k}^{T} \cdot c_{k} u_{k} = \sum^{n}_{k=1} e^{\lambda_{k} \cdot t} u_{k} c_{k}$

Il generico termine della serie prende nome di modo naturale associato all'autovalore [tex] \lambda_{k} [\tex] e analogamente l'esponenziale ne rappresenta la legge di moto! E' evidente che se la parte reale di tale autovalore sia maggiore di uno il sistema diverga all'infinito, dunque sia instabile, se tale autovalore ha parte reale nulla, allora risulti stabile semplicemente in quanto di ampiezza costante nel tempo e che se la parte reale sia minore di zero allora asintoticamente la legge di moto tenda a zero, dunque la stabilità risulta asintotica.
Nel caso di autovalori complessi, si avrà il relativo coniugato, in questo caso compaiono seni e coseni, la stabilità è invariata, ma vanno tenute presenti le possibili oscillazioni legate all'autovalore.

Con parte reale nulla non puoi concludere nulla se la molteplicità dell'autovalore è maggiore di uno, in tal caso infatti va fatto ricorso agli autovettori generalizzati e l'esponenziale di matrice non è definibile come sopra.

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Sistemi differenziali e stabilita'

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