ElectroYou

Ragazzi eccomi ancora... questa volta si tratta di un integrale che non riesco a portare a termine come mostrato nella seguente uguaglianza

$\int_{-L}^{L}sin[k_0(L-|z^,|)]exp(jk_0z^,cos\theta)\, dz^,=\frac{2}{k_0sin^2\theta}[cos(k_0Lcos\theta)-cos(k_0L)]$

Ho provato a risolverlo per parti, ma non me ne esco!!! Sarà cosa facile?

nel primo integrale è un numero complesso ? In che esame è richiesta la soluzione dell'integrale ?

io direi formule di eulero per la funzione integranda

lionell88 ha scritto:Ho provato a risolverlo per parti, ma non me ne esco!!!

Se vuoi integrare per parti, fai l'integrazione due volte ;-)

PS: e guarda la mia firma... :roll:

dimaios ha scritto: nel primo integrale è un numero complesso ? In che esame è richiesta la soluzione dell'integrale ?

molto probabilmente sarà un esame di Campi Elettromagnetici ... perché Ko è il vettore d'onda nel vuoto...

Allora, prima di tutto bisogna osservare che la funzione integranda ha parte reale pari e parte immaginaria dispari, quindi l'integrale della parte immaginaria è nullo e si ha

$\int_{-L}^{L}\sin[k_0(L-|z|)]\exp(\text{j}k_0 z \cos\theta)\, \text{d}z= 2\int_{0}^{L}\sin[k_0(L-z)]\cos(k_0 z \cos\theta)\,\text{d}z = 2I$

dove, nell'ultimo passaggio, ho posto

$I = \int_{0}^{L}\sin[k_0(L-z)]\cos(k_0 z \cos\theta)\,\text{d}z$

Adesso, determiniamo

integrando per parti,

$\int u\text{d}v = uv - \int v\text{d}u,$

scegliendo

$u =\sin[k_0(L-z)]$

e

$\text{d}v = \cos(k_0 z \cos\theta)\,\text{d}z$

si ha

$\text{d}u = -k_0\cos[k_0(L-z)]\text{d}z$

e

$v = \frac{1}{k_0\cos\theta}\sin(k_0 z \cos\theta)$

Poiché

$uv\bigg|_0^L = 0$

si ottiene

$I = \frac{1}{\cos\theta}\int_0^L \cos[k_0(L-z)]\sin(k_0 z \cos\theta)\text{d}z$

Ora scegliamo

$u^\prime = \cos[k_0(L-z)]$

e

$\text{d}v^\prime = \sin(k_0 z \cos\theta)\text{d}z$

da cui, saltando qualche passaggio,

$I = -\frac{1}{k_0\cos^2\theta}\left\{\cos(k_0L\cos\theta)-\cos(k_0L)-k_0 \int_{0}^{L}\sin[k_0(L-z)]\cos(k_0 z \cos\theta)\,\text{d}z\right\}$

Ma l'ultimo integrale è proprio

, quindi

$I = -\frac{1}{k_0\cos^2\theta}[\cos(k_0L\cos\theta)-\cos(k_0L)-k_0I]$

Questa è un'equazione in

che risolta dà

$I = \frac{1}{k_0\sin^2\theta}[\cos(k_0L\cos\theta)-\cos(k_0L)]$

Sostituendo nella prima equazione si ottiene il risultato finale:

$\int_{-L}^{L}\sin[k_0(L-|z|)]\exp(\text{j}k_0 z \cos\theta)\, \text{d}z= \frac{2}{k_0\sin^2\theta}[\cos(k_0L\cos\theta)-\cos(k_0L)]$

Direi che usando Werner era piu' semplice.

posto per semplicita' di scrittura

$c=\cos \theta$

avremo che

$\begin{align} & 2\int_{0}^{L}{\sin (k_{0}(L-z))\cos (k_{0}z\,c)\text{d}z}= \\ & \int_{0}^{L}{\sin (k_{0}L-k_{0}z(1+c))\text{d}z-\int_{0}^{L}{\sin (k_{0}L-k_{0}z(1-c))}\text{d}z}= \\ & \frac{\cos (k_{0}Lc)}{k_{0}(c+1)}-\frac{\cos (k_{0}L)}{k_{0}(c+1)}+\frac{\cos (k_{0}L)}{k_{0}(c-1)}-\frac{\cos (k_{0}Lc)}{k_{0}(c-1)}= \\ & 2\frac{\cos (k_{0}Lc)-\cos (k_{0}L)}{k_{0}(1-c^{2})} \\ \end{align}$

andreacircuit ha scritto:molto probabilmente sarà un esame di Campi Elettromagnetici ... perché Ko è il vettore d'onda nel vuoto...

Si è l'esame di antenne. z' non è un numero complesso, è semplicemente un punto sull'asse z del sistema Oxyz

Grazie per le risposte tempestive ragazzi.

RenzoDF ha scritto:Direi che usando Werner era piu' semplice.

Indeed yes,

RenzoDF, ma lo scopo del messaggio [6] era di far vedere che...

lionell88 ha scritto:Ho provato a risolverlo per parti, ma non me ne esco!

...anche per parti se ne può uscire ;-)

DirtyDeeds ha scritto:...anche per parti se ne può uscire

Si, notando che la parte immaginaria è dispari quindi il suo integrale è nullo in [-L,+L], te ne puoi uscire con la vita salva. Provare ad integrare saltando quella considerazione e lasciando addirittura l'esponenziale così com è, senza nemmeno portarla nella forma goniometrica, non è cosa buona

...

Poi è vero, Werner è comodo ma io sono allergico a ricordare le formule di Werner!!!

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