ElectroYou

Salve a tutti gli utenti del forum.

Avrei questo quesito da proporvi:

Perche questa espressione

$\lim_{T_0 \to \infty} { \sum_{k=-\infty }^\infty X(kf_0) \hspace 4 e^{j2\pi k f_0 t} \hspace 4 f_0 } \\$

assumendo che X(kf_0)

non tenda a zero

diventa :

$\int_{-\infty }^{\infty } X(f) e^{j2\pi k f t} df$

Qualcuno mi sa spiegare questo passaggio? o meglio come si svolge il limite di una sommatoria?

Dal mio punto di vista siccome T_0

tende a $\infty$ e quindi f_0

tende a 0,
sostituendo 0 in f_0

risulterebbe il tutto uguale a zero.

Un saluto a tutti.

subliminal ha scritto:Dal mio punto di vista siccome tende a $\infty$ e quindi tende a 0,sostituendo 0 in risulterebbe il tutto uguale a zero.

Ti sei dimeticato del k. ;-)

Se partiamo dalla serie di una $x_{p}(t)$ periodica di periodo $T_{0}$

$x_{p}(t)=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{X_{k}e^{j2\pi kf_{0}t}}$

e definiamo, per convenienza, un nuovo coefficiente

$X(kf_{0})\triangleq T_{0}X_{k}$

avremo che la relazione di partenza può essere riscritta come

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{\frac{1}{T_{0}}X(kf_{0})e^{j2\pi kf_{0}t}}$

se ora supponiamo di far tendere $T_{0}$ ad infinito, e di conseguenza,

$T_{0}\to \infty \Rightarrow f_{0}=\frac{1}{T_{0}}\to \Delta f\to 0,\quad kf_{0}\to k\Delta f\to f$

ovvero allarghiamo il periodo al fine di "passare" da una funzione periodica $x_{p}(t)$ alla funzione aperiodica associata x(t)

, la serie di Fourier verrà ad evolvere verso la forma integrale dell'antitrasformata; ovvero nel passaggio al limite

$x(t)=\underset{\Delta f\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=-\infty }^{\infty }{X(k\Delta f)e^{j2\pi k\Delta f\,t}}\Delta f$

si potrà scrivere

$x(t)=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{X(f)e^{j2\pi f\,t}}\text{d}f$

Grazie infinite della risposta :)

Dove ho dimenticato

?

qualcuno mi saprebbe rispondere?

O_/

subliminal ha scritto:qualcuno mi saprebbe rispondere?

Se ti riferisci al k, basta leggere quello che ti ho scritto, ovvero che anche se T0->inf e quindi f0->0, cosi' non avviene per kf0.

proprio questo non ho capito.

percheè kf_0

non tende a zero?

Grazie mille.

subliminal ha scritto:proprio questo non ho capito. ... percheè non tende a zero?

Devi vederlo come passaggio al limite; al crescere del periodo T0 verso infinito, il suo inverso 1/T0 tenderà a zero diventando una quantità $\Delta f\to \text{d}f$ via via più piccola ma non nulla,e di conseguenza il prodotto

$k\,\Delta f$

visto che k va da $-\infty$ a $+\infty$ , "spazzolerà" tutto l'asse delle frequenze e quindi potremo dire che

$k\Delta f\to f$

in quanto riducendosi via via la distanza ( $\Delta f$ ) fra la righe spettrali, ci sarà al limite un passaggio da uno spettro discreto ad uno continuo.

ElectroYou

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