ElectroYou

ciao a tutti,
sto 'studiando' la divergenza di un campo vettoriale F=(F_1,F_2,F_3)

e non riesco a capire la dimostrazione del teorema della divergenza:
( ma come si scrivono qua le formule matematiche??
TEOREMA:
sia D un dominio regolare in R^3 e $\partial D$ la sua frontiera,
sia F: D --> R^3 un campo vettoriale C^1(D)
Allora : $\iiint _{D} \text{div}\,F \text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z = \int_{\partial D} (F,v_e) d \sigma$

con v_e

versore normale alla superficie alla frontiera di D orientato verso l'esterno del dominio

DIMOSTRAZIONE:
sia $D=[a,b]\times[c,d]\times[h,k]$

Considero

$\iiint_{D}\frac{\partial F_3}{\partial z} \text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z$

ed integro per fili
poi passo al secondo membro:
Il testo dice sia v_e=((v_e)^1, (v_e)^2, (v_e)^3)

, e non ne capisco il perché.
Definisce S_1

e

come le basi del parallelepipedo D che hanno normale esterna rispettivamente nei punti (0,0,1) e (0,0,-1) ... ma non spiega come li ha trovati questi punti.
e 0sserva che la superficie laterale è costituita da facce con (v_e)^3 =0

, perché?
Dunque è banale che : $\int_{\partial D}(F_3(v_e)^3) d \sigma = - \int_{S_1} (F_3) d \sigma + \int_{S_2} (F_3) d \sigma$ ... perché?
In modo analogo procede poi per F_1e F_2 .

silence1992 ha scritto:ma come si scrivono qua le formule matematiche??

In LaTeX, come hai giustamente fatto tu, ma non racchiudere le formule tra i simboli $ $ (come faresti nel "vero" LaTeX), ma tra i tag

Codice: Seleziona tutto: [tex]...formula...[/tex]

Ti ho fatto un po' di maquillage alle equazioni, controlla che siano ancora corrette.

grazie! si si le hai modificate in modo corretto !

silence1992 ha scritto:l testo dice sia , e non ne capisco il perché.

è un vettore in $\mathbb{R}^3$ , e quelle sono le sue componenti.

silence1992 ha scritto:Definisce S_1 e S_2 come le basi del parallelepipedo D che hanno normale esterna rispettivamente nei punti (0,0,1) e (0,0,-1) ... ma non spiega come li ha trovati questi punti.

Sicura che dica proprio così? (0,0,1) e (0,0,-1) potrebbero essere le componenti di v_e

per le basi S_1

e

...

silence1992 ha scritto:e osserva che la superficie laterale è costituita da facce con , perché?

e

sembrano essere le facce del parallelepipedo ortogonali all'asse z; le altre facce, quindi, sono tutte parallele all'asse z: di conseguenza, per queste facce, (v_e)^3 =0

.

Si, lo so che sono le componenti del versore... però mi chiedevo perché (v^3, v^2, v^1) elevate al quadrato, al cubo ... Ma pensandoci meglio forse il libro nonostante abbia scritto v^3 intendeva v_3
poi credo di aver capito quello che intendi al 'secondo punto' : v_e è il versore normale alla frontiera dunque coincide con la "normale esterna" .. era ovvio in effetti.

però se v^3 =0 integrale di ( F_3v^3) non dovrebbe essere zero ... so che sicuramente non è così però...

silence1992 ha scritto:Ma pensandoci meglio forse il libro nonostante abbia scritto v^3 intendeva v_3

Sì, è così. Le componenti di un vettore possono essere indicate sia con gli indici "sotto" che con gli indici "sopra". (Bisogna stare un po' attenti, però: in alcuni contesti il fatto che gli indici siano sopra o sotto non è indifferente, ma nel contesto del libro di analisi va bene in entrambi i modi). Nota, anche, che per evidenziare la differenza con l'elevamento a potenza, le coordinate sono state indicate tra parentesi tonda: (v_e)^3