ElectroYou

Salve Electroyoumani! :mrgreen:

Queste prime due settimane di università sono state un po' problematiche per così dire. Infatti il professore di Ananlisi ha affrontato alcuni argomenti in maniera diversa da come si affrontano solitamente e non ci ha ancora dato un testo di riferimento e tutti quelli che abbiamo provato non tratto gli argomenti alla stessa maniera. Vengo al dunque: la costruzione degli insiemi numerici (N,Z,Q ed R) attraverso le classi (non avevo mai sentito parlare delle classi per quanto riguarda gli insiemi) e la topologia. Ora, gli argomenti non sono difficili e per dirla tutta li sta facendo, per usare sue parole, "per conoscenza", però mi piacerebbe capirli almeno un minimo e soprattutto riuscire ad interpretare ciò che scrivo sul quaderno: spiega e scrive molto velocemente e capita di perdersi qualcosa. Dunque mi sapreste dare il titolo di qualche libro o qualche sito in cui trovare questi argomenti trattati bene e in maniera scorrevole e con qualche esempio pratico?
Quando chiediamo spiegazione di quello che dice le risposte sono spesso: "fra qualche mese lo capirete" oppure "perché è così"

buonasera,
guarda.... di libri ce ne sono moltissimi..... io ho studiato e mi son trovato bene con il "pagani salsa"
o anche il "giusti" che per altro sono in italiano (e non è poco)..
penso che siano esaurienti.
ciao

marcoumegghiu ha scritto:la costruzione degli insiemi numerici (N,Z,Q ed R) attraverso le classi

Scritta così non è molto chiara: nella teoria degli insiemi il termine classe può indicare sia un insieme che una classe propria, cioè un oggetto troppo grande per essere considerato un insieme.

L'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ è dato da uno degli assiomi della teoria degli insiemi (per esempio nella teoria di Zermelo-Fraenkel è dato dall'assioma dell'infinito), gli altri si possono costruire a partire da $\mathbb{N}$ : l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ è un insieme di coppie ordinate di numeri naturali su cui sia stata stabilita un'opportuna relazione di equivalenza, $\mathbb{Q}$ , anche, è un insieme di coppie (prese da $\mathbb{Z}$ ), mentre $\mathbb{R}$ è effettivamente quello di più difficile costruzione. Per $\mathbb{R}$ ci sono due strade: completamento di $\mathbb{Q}$ (una strada topologica, diciamo) o tagli alla Dedekind. E' questa la strada che avete seguito?

Grazie per le risposte! :-)

DirtyDeeds ha scritto:Scritta così non è molto chiara: nella teoria degli insiemi il termine classe può indicare sia un insieme che una classe propria, cioè un oggetto troppo grande per essere considerato un insieme.

Suppongo che per classe intendesse un'insieme...nelle prime lezioni mi sono sentito uno stupido..

La strada seguita per la costruzione degli insiemi è quella che hai descritto tu e che ho evidenziato nella citazione sottostante

DirtyDeeds ha scritto: gli altri si possono costruire a partire da $\mathbb{N}$ : l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ è un insieme di coppie ordinate di numeri naturali su cui sia stata stabilita un'opportuna relazione di equivalenza, [...]. Per $\mathbb{R}$ ci sono due strade: completamento di $\mathbb{Q}$ (una strada topologica, diciamo)...

Quindi per $\mathbb{R}$ ha usato la strada topologica e anche qui non è stato molto chiaro. Ha ripetuto che questi concetti li ha dovuti fare per nostra conoscenza e che non dobbiamo preoccuparci se non li facciamo nostri perché servono solo per capire le prime cose di analisi che faremo e che stanno alla base del corso...sinceramente è un discorso che non ho capito e che non sposo per nulla, quindi in qualche modo mi dovrò arrangiare.

Non ti è chiara la costruzione di tutti gli insiemi o solo la costruzione dei reali?

Qui, qui e qui viene descritta in dettaglio la costruzione di $\mathbb{R}$ a partire da $\mathbb{Q}$

Comunque non ti devi sentire uno stupido, in effetti, sono cose piuttosto complesse, anzi ci sarebbe da meravigliarsi se tu riuscissi a capirle subito dai pochi cenni fatti (male, anche, da quel che mi sembra di capire) a lezione.

Provo a inquadrarti il discorso, rimandandoti ai testi linkati per i dettagli.

Da quello che conosci dei numeri reali dalle superiori, sai che sui numeri reali sono definite delle operazioni e delle relazioni (somma, prodotto e relazione d'ordine) che soddisfano certe proprietà. Per esempio, sai che la somma e il prodotto godono delle proprietà associativa e commutativa e che il prodotto è distributivo rispetto alla somma. Sai anche, per esempio, che dato un numero reale

se ne può trovare uno

tale che

(esistenza dell'opposto) e sai anche che esiste un numero che chiamiamo 0 tale che x+0 = x

.

Ora, da un lato, c'è una teoria, la teoria degli insiemi, che in matematica viene usata per descrivere praticamente tutti gli oggetti matematici come funzioni e relazioni; dall'altro abbiamo questi numeri, con cui facciamo anche matematica e che sappiamo soddisfare certe proprietà: è possibile, allora, costruire questi numeri a partire dalla teoria degli insiemi in modo che tutta la matematica possa essere costruita a partire da questa teoria :?:

La risposta, in effetti, è positiva.

La teoria degli insiemi dichiara l'esistenza dell'insieme dei naturali (l'assioma dell'infinito che ti ho detto): a partire da questo, che ci è in un certo senso dato (qualcuno dice: i numeri naturali ce li ha dati Dio, tutti gli altri sono costruzione dell'uomo), costruiamo una serie di insiemi ( $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ ) e su questi insiemi definiamo delle funzioni e delle relazioni. Fatto ciò, dobbiamo verificare che gli insiemi e le operazioni associate così definiti soddisfino alle proprietà che attribuiamo ai numeri.

Per esempio: $\mathbb{R}$ viene costruito a partire da $\mathbb{Q}$ come insieme delle successioni di $\mathbb{Q}$ che soddisfano a una certa condizione (di Cauchy). La definizione è a meno di una relazione di equivalenza, ma per adesso questo è un tecnicismo che non ci interessa.

Per esempio, la successione (a_n)

(di razionali) qui sotto è il numero reale 0.5:

$(a_n) = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\ldots\right)$

Tra queste successioni definisco delle operazioni, per esempio la somma:

(a_n)+(b_n) = (a_n+b_n)

La somma di due successioni è la successione che si ottiene sommando le due successioni termine a termine:

$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\ldots\right)+\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\ldots\right) = (1,1,1,1,1,\ldots)$

Definite così le operazioni, andiamo a verificare che queste operazioni soddisfino alle proprietà di associatività, commutatività ecc. che mi aspetto. Fatto ciò, diciamo: bene, abbiamo costruito i numeri a partire dalla teoria degli insiemi.

Nota: tali costruzioni non sono necessariamente uniche.

Grazie

DirtyDeeds per i documenti allegati! Sicuramente il fine settimana lo dedicherò alla loro lettura :-)

E grazie anche per la breve spiegazione che mi hai presentato :-)

la difficoltà che ho riguarda quello che ci sta in mezzo alla costruzione degli insiemi. Il perché si parte dai naturali e si costruiscono gli insiemi superiori l'ho capito, quello è semplice in fondo...è appunto tutto quello che io professore ha messo in mezzo che risulta poco chiaro a me e a tutti (o quasi) i miei colleghi perché è un metodo mai visto prima e che nemmeno so spiegare per darti maggiori informazioni. Leggerò quei documenti e approfondirò il post che mi hai scritto, alla fine poco mi importa se la costruzione che assimilo è diversa da quella fatta in aula, tanto ai fini dell'esame questa parte non serve quindi imparare questi concetti in maniera diversa non cambia nulla :mrgreen:

Grazie!

ElectroYou

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