ElectroYou

Salve

come da oggetto, come si dimostra il limite e = lim x--> inf (1+x/n)^n #-o

grazie

Ciao!
Prova a vedere in questo pdf (l'url è il seguente):
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/nepero.pdf

C'è però una proprietà importante del numero di Nepero che lì non è discussa: qual è?

PS: la proprietà di cui sopra non viene tipicamente dimostrata nei corsi di analisi perché la dimostrazione è complessa: nondimeno, è forse la proprietà più importante del numero e (condivisa, per esempio, anche da $\pi$ ).

Si in effetti non c'è la dimostrazione del fatto che

è un numero irrazionale trascendente, d'altronde appunto il pdf è un file di "complemento" al libro che usavamo per analisi 1

jupiter ha scritto:Salve

come da oggetto, come si dimostra il limite e = lim x--> inf (1+x/n)^n

grazie

ops invece di x/n era 1/n... #-o

e = lim x--> inf (1+1/n)^n

afz ha scritto:Si in effetti non c'è la dimostrazione del fatto che è un numero irrazionale trascendente

Giusto! In realtà, quindi, non esiste una "dimostrazione" del fatto che

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \mathrm{e}$

perché quella è la definizione di $\mathrm{e}$ . Ciò che si dimostra è che il limite

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

esiste in $\mathbb{R}$ , e quindi possiamo dire che è un numero. Appurato questo, si dimostrano alcune proprietà di quel numero, in particolare l'irrazionalità e la trascendenza, che lo fanno diventare un numero interessante a cui vale la pena assegnare un simbolo particolare.

Posso rilanciare?

Chi riesce a dimostrare che:

$\underset{{\scriptstyle n\rightarrow+\infty}}{\lim}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

Cosa vuol dire questo limite?
Ha dei legami con approssimazioni note?

Se invece scrivessi:

$\underset{{\scriptstyle n\rightarrow+\infty}}{\lim}\frac{n^{1+\frac{1}{2n}}}{\sqrt[n]{n!}}=e$

di quanto migliorerebbe la velocità di convergenza?

Non so perché ma non ottengo quello che vorrei... Ecco i miei passaggi poco rigorosi..
Faccio un po' di manipolazioni...
$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\frac{(\sqrt[n]{n})^n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\frac{n}{n-0}}*\sqrt[n]{\frac{n}{n-1}}*...*\sqrt[n]{\frac{n}{n-(n-1)}}$
dove posso vedere $\sqrt[n]{\frac{n}{n-k}}=\left({\frac{n-k}{n}}\right)^{-\frac{1}{n}}=\left(1+{\frac{-k}{n}}\right)^{-\frac{1}{n}*n^2*\frac{1}{n^2}}$
Riconosco un limite notevole... nella moltiplicatoria. Adesso iniziano i problemi. Come risultato trovo $e^{1/2}$ ...

$e^{(1/n^2)}*e^{(2/n^2)}*...*e^{((n-1)/n^2)}=e^{1/2*n(n-1)/n^2}$
Ma come? Ho già eseguito il limite... si vede proprio che sono le tre di notte... sicuramente la cosa sbagliata che ho fatto è stata quel giochino di esponenti...

PietroBaima ha scritto:Ha dei legami con approssimazioni note?

He he...

ElectroYou

dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

Re: dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

Re: dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

Re: dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

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Re: dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n

Re: dimostrazione e = lim x--> inf (1+x/n)^n