ElectroYou

Piccola curiosità, c'è un modo per risolvere il seguente limite senza usare De Hospital?

$\lim_{x\rightarrow \infty} x^2 log \frac{(x^2+1)}{(x^2-2)}$

insomma in modo diverso da come lo risolve wolfram.

Direi trasformando il rapporto (sostituendo +1 a numeratore con -2+3)

${{x}^{2}}\ln \left( 1+\frac{3}{{{x}^{2}}-2} \right)$

e, visto che il secondo termine nella parentesi è un'infinitesimo, sviluppando con

$\ln (1+t)=t-\frac{{{t}^{2}}}{2}+...$

e calcolando il limite con

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left( \frac{3}{{{x}^{2}}-2} \right)=3$

Ci possono essere modi diversi, ma dipende da quali strumenti matematici vuoi o puoi utilizzare. Per esempio, sfruttando gli sviluppi in serie di Taylor,

$\begin{align}x^2\ln\frac{x^2+1}{x^2-2} &= x^2\ln\frac{1+\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{2}{x^2}} & \\ &\sim x^2\ln\left(1+\frac{3}{x^2}\right)\sim x^2\frac{3}{x^2} \sim 3 &(x\rightarrow\infty) \end{align}$

PS: vedo che

RenzoDF mi ha preceduto sulla stessa linea ;-)

Secondo me si può risolvere con una stima asinotica:

$\lim_{x\to \infty } x^{2}\log\frac{x^{2}+1}{x^{2}-2}\sim\lim_{x\to \infty }x^{2}\log\frac{x^{2}}{x^{2}} = \lim_{x\to \infty }x^{2}\log 1= \infty$

...credo sia corretto , nell'ultimo passaggio ho usato la gerarchia degli infiniti , cioè che la funzione logaritmica è di ordine inferiore rispetto la x^n e non dovrebbe pesar molto, ciao!

ElectroYou

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