ElectroYou

Signori buona sera,
vorrei mi chiariste questo dubbio : 0^infinito è una forma indeterminata?
Gradirei anche, se possibile, avere la dimostrazione.
Approfitto dell'occasione per porgere i miei più cordiali Auguri a tutti gli Amici del Forum. Grazie
Antonio

Secondo il mio punto di vista questa non è una forma indeterminata, perché 0^infinito, secondo il mio ragionamento dà 0.
Attendiamo comunque il parere di qualcun' altro.

OK grazie Andrea.
Antonio

Comunque, come ti ho detto, aspetta qualche altro parere, perché non ne ho la certezza. Ripensandoci poi il limite dovrebbe fare 0 se l' infinito è positivo, altrimenti infinito.

Se $0 \cdot \infty&=0$ tutta la matematica basata sul calcolo infinitesimale non esisterebbe!!
La dimostrazione rigorosa non la conosco ma la storiella del bastone è riuscita a convincermi a suo tempo:
prendi un bastone lungo diciamo 2m $(2\cdot1)$ . Dividilo a metà e ottieni due pezzi lunghi 1m $(1\cdot2)$ . Ancora a metà ogni pezzo e ottieni 4 pezzi lunghi 50cm $(0,5\cdot4)$ . Ora vai avanti così all'infinito, in teoria otteresti infiniti pezzi lunghi 0m $(0\cdot \infty)$ .
Ma la stessa cosa vale se partiamo da un bastone lungo 5m, 10m, 5cm, 3nm... quindi possiamo dire che partendo dalla fine, cioè dagli infiniti pezzi lunghi 0, non possiamo dire a priori qual è la lunghezza di tutti i pezzi sommati, cioè in matematica quello che si dice forma indeterminata.

Ciao

matteoDL. Credo che il caso proposto fosse:
$0^{\pm \propto }$
Se si usasse latex per scrivere le formule questi dubbi sarebbero inesistenti!!!
O_/

Ops hai ragione

Pioz ho letto male il post.
Allora mi appoggio anch'io a dire che $0^\infty&=0$

Infinito ( $\infty$ ) non è un numero reale (anche se si può definire una retta reale estesa, v. qui), quindi la scrittura $0^\infty$ non definisce nessuna operazione in $\mathbb{R}$ .

Così, bisogna ricordarsi che, per esempio, la scrittura

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = +\infty$

è solo una abbreviazione per

"per ogni a>0

esiste $\delta >0$ tale che f(x)>a

per $0<|x-x_0|<\delta$ "

e che la scrittura

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$

è solo un'abbreviazione per

"per ogni a>0

esiste $\delta >0$ tale che |f(x)|>a

per $0<|x-x_0|<\delta$ ".

Si dice allora che si ha una forma $0^\infty$ quando si ha un limite del tipo

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)^{g(x)}$

con f(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$ e g(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = +\infty$ .

Questa, però, NON è una forma indeterminata perché tale limite fa zero. La forma indeterminata è $\infty^0$ , ovvero un limite del tipo

$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)^{g(x)}$

con f(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$ e g(x)

tale che $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$ .

Edit: è tardi e avevo scritto qualche cavolata, ora corretta.

OK Signori, grazie a tutti per la grande disponibilità sempre pronta ed auguro la buona notte.
Antonio

Chiedo scusa se riprendo, ma mi sento in dovere di fare presente che ho molto gradito le esaurienti spiegazioni con relative dimostrazioni. Grazie
Antonio

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Limiti indeterminati

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Re: Limiti indeterminati

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