ElectroYou

Salve a tutti non capisco cosa vuole dire questo esercizio :
Dimostrare che la funzione $f(z)=2z^3, z\in \mathbb{C}$ , è intera.
che intende per intera?

904 ha scritto: ... che intende per intera?

Per funzione "intera" si intende una funzione olomorfa su C, ovvero una funzione che non possiede punti singolari finiti.

e non basta che faccio la derivata che esce 6z al quadrato e questa non possiede punti di singolarità e se verifico le condizioni necessarie di cauchy queste sono verificate questa sarebbe la dimostrazione?

una funzione intera se non sbaglio è una funzione olomorfa su tutto il piano complesso con al più una singolarità nel punto all'infinito. Se verifica le condizioni di Chaucy e non ha singolarità finite allora è dimostrato.

Una funzione è intera secondo la definizione che ti ha già dato

RenzoDF, per cui se è così vuol dire che risulta analitica ovunque nel piano complesso, cioè che ammette derivata in ogni suo punto.

904 ha scritto: se verifico le condizioni necessarie di cauchy queste sono verificate questa sarebbe la dimostrazione?

Puoi procedere in questo modo, ma significa che devi determinare separatamente le espressioni della parte reale u(x,y)

e immaginaria v(x,y)

della funzione complessa f(z)=u(x,y)+jv(x,y)

e poi verificare le condizioni di Cauchy-Riemann su tutta la regione di definizione della funzione complessa.
Un modo più rapido è quello di utilizzare un'unica condizione equivalente a quelle di Cauchy-Riemann (ovviamente dimostrabile) e cioè la seguente:

$\frac{\partial f}{\partial x}=-j\frac{\partial f}{\partial y}$

Per cui:

$f(z)=2z^{3}=2(x+jy)^{3}=2[x^{3}+j3x^{2}y-3xy^{2}-jy^{3}]=$
$=2x^{3}+j6x^{2}y-6xy^{2}-j2y^{3}$

dove ho sviluppato il cubo di un binomio:

(a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3

e ricordando chiaramente che $j^{2}=-1$ . A questo punto calcolo le derivate parziali rispetto ad x ed y:

$\frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}+j12xy-6y^{2}$

$-j\frac{\partial f}{\partial y}=-j(j6x^{2}-12xy-j6y^{2})=6x^{2}+j12xy-6y^{2}$

per cui la condizione equivalente di Cauchy-Riemann è verificata qualunque sia il punto $z = x+jy \in\mathbb{C}$ . Inoltre puoi renderti conto che le derivate parziali sono entrambe continue per cui necessariamente continue risulteranno anche le derivate della parte reale u(x,y)

ed immaginaria v(x,y)

. Quindi la funzione complessa data è certamente analitica e per di più intera.

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esercizio analisi complessa

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