ElectroYou

Salve a tutti, volevo porvi il seguente problema:

Sia z(t) = x(t)y(t)

.

Calcoliamo la trasformata del prodotto Z(f)

:

$Z(f) = \int_{-\infty}^{\infty} z(t) \ e^{-j2\pi ft} dt = \\ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

Applicando l'equazione di sintesi ad x(t)

( usando la variabile v ) si ottiene:

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \left [ \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) e^{j2\pi vt} dv \right ] y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

Il libro adesso dice: "Invertendo quindi l'ordine di integrazione" si ottiene:

$Z(f) = \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \left [ \int_{ t = -\infty}^{\infty} y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt \right ] e^{j2\pi vt} dv$

ovvero :

$Z(f) = \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \left [ \int_{ t = -\infty}^{\infty} y(t) \ e^{-j2\pi (f-v)t} dt \right ] e^{j2\pi vt} dv$

- Cosa si intende per "invertendo l'ordine di integrazione" ( E' un teorema ? )
- Qualcuno sa spiegarmi meglio l'ultimo passaggio (f-v)

?

Grazie a tutti della collaborazione

subliminal ha scritto:- Cosa si intende per "invertendo l'ordine di integrazione" ( E' un teorema ? )

Sono di fretta, prova a controllare, dovrebbe essere stato usato il Teorema di Fubini-Tonelli.

subliminal ha scritto:- Qualcuno sa spiegarmi meglio l'ultimo passaggio ?

E' stata usata la proprietà, per la quale nel prodotto di due numeri aventi la stessa base, gli esponenti si sommano; per esempio:

$e^{2x}e^{-3x}=e^{-x}$

1) ma in questo caso abbiamo un integrale doppio?
2 ) i due esponenziali anche se hanno la stessa base non fanno parte di due integrali diversi?

subliminal ha scritto:1) ma in questo caso abbiamo un integrale doppio?

A meno che mi sbagli, sì.

subliminal ha scritto:2 ) i due esponenziali anche se hanno la stessa base non fanno parte di due integrali diversi?

Sì, ma, se non sbaglio, è lecito farla; sicuramente è stata fatta per avere delle semplificazioni e per giungere al risultato voluto, che sarà una convoluzione in frequenza.

Comunque l' ultimo passaggio non mi torna, prova a controllare che sia veramente così.

Aspettiamo comunque i pareri dei più esperti del forum ;-)

nell'integrale doppio per essere tale, non vi deve essere come argomento una funzione di due variabili?

E tu non puoi vederla così ?

$f(v,t)=X(v) \cdot y(t) \cdot e^{......}$

quindi allora è un integrale doppio ?

Parti da questa espressione:

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \left [ \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) e^{j2\pi vt} dv \right ] y(t) \ e^{-j2\pi ft} dt$

E sposta la variabile di integrazione interna verso l'esterno in modo tale che l'argomento sia interno ad ambedue gli integrali e le variabili di integrazione completino l'espressione.
A questo punto sostituisci l'argomento con l'espressione che ti ho suggerito nel post precedente.

La scrittura finale dovrebbe suggerirti la risposta.

Perdonami dimaios ma come posso portare la variabile di integrazione fuori quando quest'ultima dipende dall'integrale?

Non capisco quale problema ci sia nello scrivere l'integrale nel seguente modo :

$Z(f) = \int_{t = -\infty}^{ \infty} \int_{v = -\infty}^{\infty} X(v) \cdot y(t)\cdot e^{j2\pi vt} \cdot e^{-j2\pi ft} dv dt$

ElectroYou

Info inversione ordine di integrazione

Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione

Re: Info inversione ordine di integrazione