ElectroYou

Ciao a tutti.
Mi potete aiutare con questo esercizio?

Non mi è chiara la formula di taylor. la dovrei applicare per calcolare il seguente limite.

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\ln^2{(1+x)}}{e^{2x}-1}$

mi aiutate a impostarlo per capire come risolverlo?

grazie mille

Cosa non ti è chiaro nella formula dello sviluppo in serie di Taylor?

Innanzitutto grazie per la risposta

Nella serie di mac laurin sostituisco alla x lo zero mentre in quella di Taylor?
Poi non mi è chiaro quando vado arisolvere un limite con gli sviluppi di Taylor, a che ordine della derivata mi devo fermare.

Con lo sviluppo di Taylor approssimi la funzione in un qualsiasi punto ma mi sembra che nel tuo caso sia proprio l'origine per cui hai la serie di Maclaurin.

Non esiste una regola sul numero di termini da orendere in considerazione, dipende dall'esercizio.
In genere comunque sviluppi una funzione per semplificare alcuni termini e ricondurre la scrittura ad una forma la cui soluzione è nota.

potresti farmi vedere come si risolve? oppure provare a risolverlo assieme?
almeno riesco a capire come si risolvono

per $x\rightarrow 0$ ,

$\ln(1+x)\approx x$

e

$\mathrm{e}^{2x}\approx 1+2x$

quindi...

DirtyDeeds ha scritto:per $x\rightarrow 0$ ,

$\ln(1+x)\approx x$

e

$\mathrm{e}^{2x}\approx 1+2x$

in questo modo non sto risolvendo il limite con il "metodo asintotico"?

Prova a sviluppare con Taylor le funzioni $\ln(1+x)$ e $e^{2x}$ nell'intorno del punto x=0

.

dimaios ha scritto:Prova a sviluppare con Taylor le funzioni $\ln(1+x)$ e $e^{2x}$ nell'intorno del punto .

sviluppo serie mac laurin ln(1+x)

faccio la derivata fino al secondo ordine:

f(0)= ln(1+x) con x=0 = 0
f(0)'= 1
f(0)''= -1

applico MacLaurin $f(0)+f(0)'\cdot x + f(0)''\cdot \frac{x^{2}}{2!}$
= $0+1\cdot x+(-1\cdot \frac{x^{2}}{2})= x-\frac{x^{2}}{2}$

faccio la stessa coisa per $e^{2x}$
facendo le sostituzioni ottengo: 1+2x+2x^2.

ho fatto bene?
ora devo sostituirli nel limite di partenza?

Manca al termine degli sviluppi in serie di Talyor la dichiarazione dell'ordine di infinitesimo del resto.

ElectroYou

limite con taylor

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