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Sviluppo asintotico

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[11] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 gen 2014, 23:12

Figurati, ad ogni modo devo ammettere che EY è davvero un Forum di Alto Livello ... e, visto che fare le domande è moltooooo più rilassante che dare le risposte, mi sa che da ora in poi io starò prevalentemente da questa "parte". :mrgreen:

Grazie ancora a Foto UtenteDirtyDeeds e a Foto UtentePietroBaima :ok:
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[12] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 gen 2014, 23:13

RenzoDF ha scritto: mi sa che da ora in poi io starò prevalentemente da questa "parte".


Noooo....

non facciamo scherzi... io da chi imparo l'elettrotecnica (e molto altro) :?:
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[13] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 23:14

PietroBaima ha scritto:RenzoDF ha scritto:
mi sa che da ora in poi io starò prevalentemente da questa "parte".


Noooo....


Concordo con Foto UtentePietroBaima, anche perché per rispondere alle tue domande bisogna farsi il c... ;-)
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[14] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 25 gen 2014, 23:18

DirtyDeeds ha scritto:anche perché per rispondere alle tue domande bisogna farsi il c... ;-)


Concordo :!: :!:

:D
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[15] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 25 gen 2014, 23:31

With a little help from my friend Foto UtentePietroBaima, la versione corretta di [6] è

\frac{\pi/2-\arcsin x}{\sqrt{2(1-x)}} = 1-\frac{x-1}{12}+\frac{3}{160} (x-1)^2+O\left[(x-1)^{5/2}\right]

per 0 \le x < 1.
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[16] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 25 gen 2014, 23:39

Ri-grazie per l'aggiornamento. :ok:
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[17] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto Utentedimaios » 26 gen 2014, 18:21

Sicome il problema mi interessa molto e non è banale sono andato a rivedere il il teorema di Bernstein che però fornisce una condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie.
Anche la condizione :

| f^{(n)} (x)| \leq k \cdot M^{n} \;\;\;\;\forall x \in (-q,q)

risulta essere sufficiente.

Quello che non ho trovato nei miei libri di matematica è invece la condizione necessaria per lo sviluppo di Taylor.

Sarebbe interessante per vedere se esiste una condizione "rilassata" sotto la quale la funzione \arcsin( \cdot ) risulta espandible.
Forse Foto UtenteDirtyDeeds trova qualche informazione utile sui suoi libri di matematica russa. ;-)


Per quanto riguarda la parte numerica ho trovato questo documento interessante a riguardo.

Bella discussione. =D> =D> =D>
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[18] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 26 gen 2014, 19:23

Il discorso della sviluppabilità in serie di potenze presenta secondo me un punto un po' sottile, che è questo: il fatto che una funzione sia infinitamente differenziabile permette di costruire la serie di Taylor, ma non è detto che questa serie sia convergente, né che converga alla funzione di partenza. Le funzioni per cui ciò accade sono quelle analitiche, che sono un sottoinsieme di quelle infinitamente differenziabili.

Il teorema che dà una condizione necessaria e sufficiente per l'analiticità delle funzioni reali di variabile reali è il seguente [1]:

Una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} definita in un intorno del punto x_0 è analitica in x_0 se e solo se

1) f(x) è infinitamente differenziabile in un intorno di x_0;
2) Esistono due numeri positivi \delta e M tali che
per ogni x nell'intervallo (x_0-\delta,x_0+\delta) la disuguaglianza

|f^{(k)}(x)|\leqslant M\frac{k!}{\delta^k}

è verificata per ogni intero k non negativo.

Ovviamente un criterio del genere è un po' un incubo, meglio passare dal campo complesso ;-)

[1] A. I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable, AMS Chelsea Publishing.
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[19] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto UtenteRenzoDF » 26 gen 2014, 20:00

Io oramai ragazzi non riesco più a seguirvi, il discorso sta diventando troppo difficile per me.
La strada che ho provato a seguire è quella di espandere il discorso iniziato in [9] al semplice fine di trovare anche il terzo termine dello sviluppo, come sempre solo ed esclusivamente per via idraulica ... che ovviamente di rigore ne avrà poco, ma io so farlo solo in questo modo.

Sono partito come al solito "dal retro". ovvero sono andato a sviluppare sull'asse y per evitare il problema della non derivabilità ponendo per semplicità di scrittura

t=\frac{\pi }{2}-y\ge 0

e sviluppando con Taylor

x\approx 1-\frac{{{t}^{2}}}{2}+\frac{{{t}^{4}}}{24}+O({{t}^{6}})

per poi esplicitare t come

t\approx \sqrt{2(1-x)}\,{{\left( 1-\frac{{{t}^{2}}}{12}+O({{t}^{6}}) \right)}^{-\frac{1}{2}}}

che, ricordando lo sviluppo notevole

{{(1+x)}^{\alpha }}\approx 1+\alpha x+O({{x}^{2}})

andremo a sviluppare come segue

t\approx \sqrt{2(1-x)}\,\left( 1+\frac{{{t}^{2}}}{24}+O({{t}^{4}}) \right)\approx \sqrt{2(1-x)}\,\left[ 1+\frac{1}{24}\left( 2(1-x){{\left( 1-\frac{{{t}^{2}}}{12} \right)}^{-1}} \right)+O({{t}^{4}}) \right]

e ancora come

t\approx \sqrt{2(1-x)}+\frac{{{\left( 2(1-x) \right)}^{{3}/{2}\;}}}{24}+O\left[ {{(1-x)}^{2}} \right]

per scrivere infine

\begin{align}
  & y=\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}-t\approx \frac{\pi }{2}-\sqrt{2(1-x)}-\frac{{{\left( 2(1-x) \right)}^{{3}/{2}\;}}}{24}+O\left[ {{(1-x)}^{2}} \right] \\ 
 &  \\ 
\end{align}

faccio presente che non ricordo più nulla sulle o piccole e sule O grandi e quindi le ho "sparate" più o meno a caso, tanto per far scena .... preparandomi ad andare dietro la lavagna, aspetto con ansia 8-[ le Vostre correzioni. :-)

Anche per questo sviluppo con tre termini, per curiosità, sono andato a vedere come migliorava il Delta:

2014-01-26_185923.png
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[20] Re: Sviluppo asintotico

Messaggioda Foto Utentebrabus » 26 gen 2014, 20:13

Leggere la vostra discussione è BELLO.

Adorerei farvi parte attivamente; non potendo, mi limito ad esplicitare il mio complimento.

Siete dei Grandi. =D>
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