ElectroYou

Tanto per cambiare un po' i ruoli, stavolta una domanda la faccio io:

quali sono i primi due termini dello sviluppo asintotico della funzione y=arcsin(x) nel punto x=1 ?

... e i primi tre?

Mmmm... ammesso di aver compreso la domanda, ma non dovrebbe essere derivabile nel punto x=1

per poter avere uno sviluppo?

La funzione ha derivata:
$\frac{d}{dx} \left{ \text{arcsin}(x) \right} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Che nel punto x=1

esplode, quindi direi che se l'analisi non mi ha abbandonato (che è una cosa possibilissima eheheh) non è sviluppabile (derivate inoltre non limitate ma soprattutto funzione non derivabile).

RenzoDF ha scritto:quali sono i primi due termini dello sviluppo asintotico della funzione y=arcsin(x) nel punto x=1 ?

Il termine sviluppo asintotico è un po' ambiguo. Se intendi lo sviluppo di Taylor intorno a x=1

, questo non si può fare, come detto da

yustel.

Si possono però fare altri tipi di sviluppi, p.es. [Abramowitz e Stegun, 4.4.41]

$\arcsin(1-x) = \frac{\pi}{2}-(2x)^\frac{1}{2}\left[1+\sum_{k=1}^\infty\frac{1\times 3\times 5\times\cdots\times(2k-1)}{2^{2^k}(2k+1)k!}x^k\right]$

valido per |x|<2

.

DirtyDeeds ha scritto:...Il termine sviluppo asintotico è un po' ambiguo.

Non c'è dubbio, ma "quella" era la domanda, che non è mia. :-)

DirtyDeeds ha scritto:... Se intendi lo sviluppo di Taylor intorno a , questo non si può fare, come detto da yustel.... Si possono però fare altri tipi di sviluppi ...

Visto però che "gli altri sviluppi" non erano di certo assunti noti, anche se non direttamente, direi che Taylor potrebbe comunque essere utilizzato.

Il problema di quella funzione è che non è derivabile per x=1.
Questo non lascia speranza per uno sviluppo "classico" della funzione.
Però, a voler essere rigorosi, la pseudoderivata sinistra esiste, mentre quella destra non ha alcun senso.

Si potrebbe quindi, pensavo, tentare uno (pseudo?)sviluppo in serie di Taylor, centrato in 1, sostituendo la derivata ordinaria con la pseudoderivata sinistra?

Ci ho provato e il risultato è incoraggiante.
Chiaramente il senso della serie di potenze diventa evanescente, perché non si rispettano più le ipotesi poste da Taylor, cioè di differenziabilità locale.

Ho quindi eseguito il comando Mathematica (sono pigro e non ho voglia di fare i conti a mano :mrgreen:

)

Codice: Seleziona tutto: Simplify[ComplexExpand[Normal[Series[ArcSin[x], {x, 1, a}]]], x < 1]

dove ad "a" ho sostituito 1 e 2 per ottenere 2 o 3 elementi di questo strano frutto della mia mente malata (gli indici in Mathematica cominciano da 0 come in C).

Se metto 1 salta fuori:

$\frac{\pi }{2}-\sqrt{2-2 x}$

Se metto 2 salta fuori:

$\frac{\sqrt{1-x} (x-13)+3 \sqrt{2} \pi }{6 \sqrt{2}}$

Se poi aumento l'indice si intravede lo zampino di Taylor, che per fortuna è ancora un po' vivo anche qui e cerca di lottare insieme a noi

Ecco il risultato con 10:

$\frac{\sqrt{1-x} \left(a_9 x^9-a_8 x^8+a_7 x^7-a_6 x^6+a_5 x^5-a_4 x^4+a_3 x^3-a_2 x^2+a_1 x-a_0\right)+c_1 \sqrt{2} \pi }{c_2 \sqrt{2}}$

(Non ho riportato i numeri da a_0

a

e le due costanti c perché venivano fuori numeri improponibili)
Si vede infatti la struttura (pseudo?)polinomiale dello sviluppo.

Ho quindi fatto un grafico troncandolo al secondo ordine e viene fuori questo risultato:

: psedotaylor.gif (5.55 KiB) Osservato 10464 volte

In blu è disegnato l'arcoseno mentre in violetto il polinomio approssimante.

Ciao,
Pietro.

RenzoDF ha scritto:Non c'è dubbio, ma "quella" era la domanda, che non è mia.

Conoscere il contesto aiuterebbe ;-)

RenzoDF ha scritto:Visto però che "gli altri sviluppi" non erano di certo assunti noti, anche se non direttamente, direi che Taylor potrebbe comunque essere utilizzato.

Non direttamente. Quello che si potrebbe fare è trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione arcoseno divisa per un'opportuna funzione che gli rimuova la singolarità. Per esempio:

$\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x}} = x+\frac{x^2}{2}+\frac{13}{24}x^3+O(x^4)$

DirtyDeeds ha scritto:Non direttamente. Quello che si potrebbe fare è trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione arcoseno divisa per un'opportuna funzione che gli rimuova la singolarità

Ecco sì, in altre parole abbiamo fatto la stessa cosa

PietroBaima ha scritto:Ecco sì, in altre parole abbiamo fatto la stessa cosa

Non solo: anch'io sono stato pigro ;-)

Vi ringrazio, come sempre rigorosissimi ed impeccabili entrambi :!:

Vi ho rivolto il quesito che mio nipote mi ha fatto questo pomeriggio, in relazione ad una domanda di uno scritto di analisi del primo anno di Fisica, per vedere in quale modo si dovesse affrontare seriamente il problema.
Io, più idraulicamente, l'unica risposta che sono riuscito a trovare è stata quella di bypassare il problema derivativo andando a sviluppare con Taylor la funzione seno nel punto $y=\pi /2$ che, vista la richiesta dei soli due primi termini limito a

$x=\sin y\approx 1-\frac{1}{2}{{\left( y-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}+...$

e quindi a passare algebricamente alla funzione inversa esplicitando y

$y=\frac{\pi }{2}-\sqrt{2(1-x)}+...$

e a occhio e croce penso di riuscire con un paio di passaggi in più anche a trovare il terzo termine ... che non era comunque richiesto.

Ho ovviamente testato anch'io il "delta" in prossimità di x=1

e confesso che pensavo andasse peggio. :-)

Mi sono accorto che lo sviluppo che ho scritto in [6] è sbagliato, non tenetene conto, domani cerco di aggiustare (tra un po' lo cancello). sorry

ElectroYou

Sviluppo asintotico

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