ElectroYou

Ciao

devo calcolare il raggio spettrale della matrice $A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ di Jacobi e Gauss Seidel

Volevo chiedervi se il procedimento e le relazioni sono corrette :-)

1 - calcolo inizialmente la matrice di iterazione per entrambi i metodi

posto che

$A := \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} := D - E - F\\$

2 - ottengo le matrici di iterazione applicando le seguenti relazioni

$B_J := - D^{-1}\cdot\left(E+F\right) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}\\$

$B_{GS} :=- \left(D-E\right)^{-1}\cdot F = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\$

3 - calcolo i raggi spettrali per entrambe.

raggio spettrale della matrice di terazione di Jacobi
$\rho\left(B_J\right) := \frac{1}{2} < 1 \\$

raggio spettrale della matrice di terazione di Gauss Seidel
$\rho\left(B_{GS}\right) := \frac{1}{2} < 1 \\$

Grazie

A occhio mi sembra di si, sono con il cellulare e non vorrei aver preso sviste.
Ma scusa perché splittare le matrici in quel modo, perché non applichi semplicemente la definizione senza introdurre segni negativi?

Ciao

quindi dovrei eliminare il segno meno dalle relazioni ?

$B_J := D^{-1}\cdot\left(E+F\right) =$

$B_{GS} := \left(D-E\right)^{-1}\cdot F =$

avevo trovato una piccola guida sull'argomento e lì erano indicati.... ?^!

Ianero ha scritto:A occhio mi sembra di si, sono con il cellulare e non vorrei aver preso sviste.
Ma scusa perché splittare le matrici in quel modo, perché non applichi semplicemente la definizione senza introdurre segni negativi?

Ciao

quindi posso eliminare il segno negativo - da entrambe le relazioni che calcolano le matrici di iterazione?

No, definite come le hai definite tu sono coerenti.
Io ti dicevo solo di semplificarti la vita senza troppi segni

Guarda ad esempio il metodo di Jacobi:

AX=B

$\left[ \left( A-D \right)+D \right]X=B$
$\left( A-D \right)X+DX=B$
$DX=-\left( A-D \right)X+B$
$X=-D^{-1}\left( A-D \right)X+D^{-1}B$

$\mbox{C}:=-D^{-1}\left( A-D \right)$
$Q:=-D^{-1}B$

$X^{\left( k+1 \right)}=\mbox{C}X^{\left( k \right)}+Q$

$\mbox{C}$ è la matrice di iterazione che devi calcolare.

Più facile, no? :-)

Ora prova tu a ricavare le matrici del metodo di Gauss-Seidel

ElectroYou

Calcolo raggio spettrale matrice iterazione

Calcolo raggio spettrale matrice iterazione

Re: Calcolo raggio spettrale matrice iterazione

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