Cos'è ElectroYou | Login Iscriviti

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Diamo i numeri 2

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

3
voti

[11] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentegill90 » 1 lug 2014, 19:27

Un altro topic! :D Io il primo l'ho fatto con Taylor: sviluppando

\cos \Bigl( \frac{\pi}{2x} \Bigr)=f(1)+\frac{df}{dx} \big \rvert _{x=1}(x-1)+...=0+\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)

\tan \Bigl( \frac{\pi x}{2} \Bigr)=\frac{\sin \Bigl( \frac{\pi x}{2} \Bigr)}{\cos \Bigl( \frac{\pi x}{2} \Bigr)}=\frac{1-\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)}{-\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)}

E sostituito resta:

\frac{(x-1)^2}{\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)} \frac{1-\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)}{-\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\frac{o(x-1)}{x-1}} \frac{1-\frac{\pi}{2}(x-1)+o(x-1)}{-\frac{\pi}{2}+\frac{o(x-1)}{x-1}}

Facendo il limite per x \rightarrow 1 resta ( \lim_{x \to1} \frac{o(x-1)}{x-1}=0 ):

\frac{1}{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{-\frac{\pi}{2}}=-\frac{4}{\pi^2}
Avatar utente
Foto Utentegill90
2.156 5 7
Expert EY
Expert EY
 
Messaggi: 695
Iscritto il: 1 set 2011, 16:18

2
voti

[12] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 lug 2014, 19:57

Il \sin \frac{\pi x}{2} potevi, volendo, anche non svilupparlo ;-)
Ottima soluzione, comunque.
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,5k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9537
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

1
voti

[13] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 lug 2014, 20:00

EcoTan ha scritto:CLS : n = 1
PRINT " VALORI DI x VALORI DI f(x) CALCOLATI"
pigr# = 2 * ATN(1)
success:
n = n + 1
X# = (7 + X#) / 8
lim# = (X# - 1) * (X# - 1)
lim# = lim# / COS(pigr# / 2 / X#)
lim# = lim# * TAN(pigr# * X# / 2)
LOCATE n, 1: PRINT X#
LOCATE n, 25: PRINT lim#
IF n < 19 GOTO success


Prova a scambiare a caso le tre righe che ho evidenziato in rosso.
Il risultato finale dovrebbe cambiare, anche se non mi ricordo la eps di macchina del qbasic.

Ciao,
Pietro
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,5k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9537
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

0
voti

[14] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 1 lug 2014, 20:13

L'infinito complesso è una quantità infinita del piano complesso, ho capito bene?
Quindi può tendere ad infinito la parte immaginaria o la parte reale o entrambe, giusto?

PS: Foto Utentegill90 ho messo uno "\" davanti alle tue funzioni trigonometriche così vengono formattate meglio :-)
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
Avatar utente
Foto UtenteIanero
7.354 5 8 13
Master EY
Master EY
 
Messaggi: 3795
Iscritto il: 21 mar 2012, 15:47

1
voti

[15] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 lug 2014, 20:54

Per l'infinito complesso, devi immaginare una sfera che si espande.
Non esistono più due sole direzioni ma infinite.
Questo porta all'abbandono del + o - davanti al simbolo di infinito (quindi perché diavolo ti ho chiesto per quali valori il limite va a + infinito e per quali altri al -, mah ;-) )

Ianero ha scritto:Il primo è incompleto? :-)

Sì, devo trovare un po' di tempo.
Avevo pensato quell'esercizio per parlarti della gamma di stirling e di altre funzioni speciali.
Ho un mini progetto, cioè di farti uscire dal mondo bello, pulito e sempre calcolabile che ci
hanno insegnato alle superiori.
Spesso le funzioni non sono così aggredibili, per esempio quelle non falcilmente invertibili.
Ecco, mi sta venendo in mente un altro esercizio.
Il problema è che mi scontro col tempo a mia disposizione.

Ianero ha scritto:n^n, che bello! C'è da spaccarsi la testa :D

he he he
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,5k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9537
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

1
voti

[16] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentegill90 » 1 lug 2014, 20:56

PietroBaima ha scritto:Il \sin \frac{\pi x}{2} potevi, volendo, anche non svilupparlo ;-)

Verisssimo, infatti nella foga non ci ho fatto caso! :ok:
Ho provato a fare il secondo, ecco i miei risultati. Come prima, linearizzando con Taylor:

a^{\log(1+x^2)}=f(0)+\frac{df}{dx} \Big |_0 x +\frac{1}{2}\frac{d^2f}{dx^2}\Big |_0 x^2+o(x^2)

Dove f(0) vale semplicemente 1. Derivando resta

\frac{df}{dx}=\log(a)a^{\log(1+x^2)}\frac{2x}{1+x^2}

Che in x=0 vale 0. La derivata seconda si ottiene derivando il prodotto tra il primo termine \log(a)a^{\log(1+x^2)} e il secondo, \frac{2x}{1+x^2}, ma poiché il secondo termine nel punto 0 annulla il prodotto per la presenza del 2x a numeratore, si trascura la derivata del primo e si considera la derivata del secondo per il primo: nel punto x=0 resta 2 \log(a).
Quindi la funzione viene:

a^{\log(1+x^2)}=1+\log(a)x^2+o(x^2)

La parte con la tangente si fa in maniera simile:

\log(1+ \tan(x))=g(0)+\frac{dg}{dx} \Big |_0 x +\frac{1}{2}\frac{d^2g}{dx^2}\Big |_0 x^2+o(x^2)

Dove g(0) vale 0. La derivata viene:

\frac{dg}{dx}=\frac{1}{1+ \tan(x)}(1+ \tan^2(x))

Che nel punto 0 fornisce come risultato 1.

Quindi il risultato finale è \log(1+ \tan(x))=0+x+o(x)
La funzione di partenza diventa:

\frac{x(0+x+o(x))}{-1+1+ \log(a)x^2+o(x^2)}=\frac{x^2+o(x^2))}{\log(a)x^2+o(x^2)}

Che nel limite x \rightarrow 0 dà: \frac{1}{\log(a)}

Da Analisi II però mi ricordo che il logaritmo complesso è una funzione multivoca, cioè dà infiniti valori:
\log(a)=\log|a|+jarg\{a\}+j2k\pi
Però se consideriamo questa definizione non c'è univocità nel risultato. Sbaglio qualcosa?

P.S. Grazie Foto UtenteIanero! :ok:
Ultima modifica di Foto UtenteIanero il 1 lug 2014, 23:44, modificato 2 volte in totale.
Motivazione: Formattati logaritmi e tangenti :)
Avatar utente
Foto Utentegill90
2.156 5 7
Expert EY
Expert EY
 
Messaggi: 695
Iscritto il: 1 set 2011, 16:18

1
voti

[17] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 1 lug 2014, 21:18

gill90 ha scritto:Da Analisi II però mi ricordo che il logaritmo complesso è una funzione multivoca,

Io la chiamavo funzione polidroma, ma credo intendiamo la stessa cosa.

gill90 ha scritto:Però se consideriamo questa definizione non c'è univocità nel risultato. Sbaglio qualcosa?

No, e tu suggerisco di andare avanti con la soluzione. ;-)
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,5k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9537
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

0
voti

[18] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 1 lug 2014, 23:37

Quindi a 1 ci posso tendere da destra, da sinistra, da sopra, da sotto, da dentro, da fuori, e così via...
Allora z=a+ib potrebbe essere un caso particolare di qualcosa tipo:

a+ib+i'c+i''d+... :?:

Posso arrivare fino a i^{\infty } ?

PietroBaima ha scritto:Ho un mini progetto, cioè di farti uscire dal mondo bello, pulito e sempre calcolabile che ci
hanno insegnato alle superiori.

:D :D quando vuoi...

Il problema è che mi scontro col tempo a mia disposizione.

...e quando non ti toglie tempo per cose più importanti :-)
Servo, dai a costui una moneta, perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara.
Euclide.
Avatar utente
Foto UtenteIanero
7.354 5 8 13
Master EY
Master EY
 
Messaggi: 3795
Iscritto il: 21 mar 2012, 15:47

2
voti

[19] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 lug 2014, 1:17

Considera la polidromia del logaritmo, e guarda cosa può fare.

Anyway, ultimo limite poi vado a dormire.
Che ti do?

Qualcosa di un po' più complicato...
vediam

Ecco :idea:

Sia f(x) una funzione implicita definita come:

{\displaystyle f(x)=a\ \text{e}^{{\textstyle \frac{x-b\ f(x)}{c}}}}

(a,b,c)\in \mathbb{R}^3

calcolare

\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}

O_/
Pietro
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,5k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9537
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

2
voti

[20] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 2 lug 2014, 3:08

Ci provo anche io se non vi da troppo dispiacere :D

f(x)=ae^{\frac{x-f(x)\cdot b}{c}}
Da si ricava che
c\cdot \log(f(x))=c \cdot \log(a)+x-b\cdot f(x)
sulla quale mi sembra un po' più facile lavorare... forse.

Ora l'idea potrebbe essere di maggiorare quel poco simpatico \log(f(x)) e un'idea è questa:
b\cdot f(x)+c\cdot \log(f(x))-c \cdot \log(a)-x=0
b\cdot f(x)+c\cdot f(x)^{\frac{1}{k}}-c \cdot \log(a)-x=0
Faccio una sostituizione \Delta^k=f(x)
E alla fine molto più carina cerco soluzioni per b\Delta^k+c\Delta-c \cdot \log(a)-x=0
Trovate delle soluzioni opportune vanno sostituite, ottengo una \dot f(x) che minora l'originale, e provo a studiare quella nel limite. Può andare bene continuare in questo senso?
"640K ought to be enough for anybody" Bill Gates (?) 1981
Qualcosa non ha funzionato...

Lo sapete che l'arroganza in informatica si misura in nanodijkstra? :D
Avatar utente
Foto Utentefairyvilje
11,5k 4 9 12
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2464
Iscritto il: 24 gen 2012, 19:23

PrecedenteProssimo

Torna a Matematica generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite