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Diamo i numeri 2

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[71] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 16:08

PietroBaima ha scritto:
fairyvilje ha scritto:La prima cosa è la derivata nel punto 0

Sicuro?

Ovviamente non ne sono sicuro :mrgreen: . Quando si parla di analisi non lo sono mai.
Non si applica il teorema fondamentale del calcolo integrale?
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[72] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:08

certo :D
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[73] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 16:10

Che evidentemente sbaglio ad applicare visto che il limite alla fine mi risulta 1 :mrgreen: . Suggerimento?
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[74] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:11

la definizione di derivata non è mica quella, ma è molto diversa.
Guarda anche graficamente cosa succede alla tua interpretazione di derivata...
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[75] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 3 lug 2014, 16:14

Quella che sto considerando è la derivata a destra nel punto 0?
Ci penso un attimo :)
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[76] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:19

pensa pensa :D
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[77] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 3 lug 2014, 16:21

passaggi!


Da qui ho visto che non può divergere:

0 \leq \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{1+t^{2}} \text{d} t}{x^2}\leq  \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x} \sin t \; \text{d} t}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}

e poi applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{1+t^{2}} \text{d} t}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{F\left( x \right)-F\left( 0 \right)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{F'(x)}{x^2}

Ho applicato de l'Hopital poiché il limite deve essere finito, per cui \frac{F\left( x \right)}{x^{2}} al limite deve fornire obbligatoriamente una forma indeterminata.

Ma F'\left( x \right)=\frac{\sin x}{1+x^{2}}, quindi:

\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin x}{2x\left( 1+x^{2} \right)}=\frac{1}{2}

:D
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[78] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:26

Concordo, anche io avrei applicato De L'Hopital, ma me la sarei presa con più tranquillità.

L'integrale non può divergere perché l'intervallo di integrazione è puntiforme, la funzione non diverge e l'integrale non è distribuzionale.
Essendo l'intervallo di integrazione puntiforme l'integrale deve tendere a zero.

Quindi si ha una forma inderminata del tipo 0/0 per

\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{K(x)-K(0)}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{k^{\prime}(x)}{2}=\frac{1}{2}

Quindi è un esercizio relax, 2 passaggi :mrgreen:
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[79] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtenteIanero » 3 lug 2014, 16:33

Capito :-)

Non so cosa voglia dire:
l'integrale non è distribuzionale


Vedo se trovo qualcosa intanto :D
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[80] Re: Diamo i numeri 2

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 lug 2014, 16:42

Naaa... lo vedremo nei prossimi diamo i numeri...
Elaborare tecniche rapide per risolvere gli esercizi è cosa buona e giusta.

Per esempio:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-\sqrt{1+n^2}}{n-n\ \cos \frac{1}{n}}

l'obiettivo è trovare il metodo più veloce possibile per risolverlo.
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