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Salve a tutti, volevo porvi il seguente quesito :

Su alcuni testi di "teoria dei segnali" viene enunciato che :

Dato un segnale x(t)

"reale" e periodico allora è esprimibile in serie di Fourier...ecc...

In generale cosa si intende per segnale "reale"...???

Grazie mille a tutti.

In generale cosa si intende per segnale "reale"...???

In maniera molto "semplicistica", si può dire che stai trattando numeri reali.

si sono d'accordo ma per segnale reale si puo intendere:
+ segnale di variabile reale a valori complessi.
+ segnale di variabile reale a valori reali.
+ altro...

significa che hai una funzione

e una variabile

, intesa reale. Dire che x(t)

deve essere reale vuol dire che ha parte immaginaria nulla. Sono reali ad esempio
- x(t)=5t-7t^2

- $x(t)=e^{-t^2}$
- x(t)=|3t+j2|

Mentre non sono reali ad esempio
- $x(t)=e^{jt}$
- x(t)=3t+j2

quindi una funzione a variabile reale e a valori complessi non può essere espressa in serie di Fourier ?

subliminal ha scritto:quindi una funzione a variabile reale e a valori complessi non può essere espressa in serie di Fourier ?

Sì, una funzione periodica di variabile reale a valori complessi (soddisfacente a certe condizioni, come nel caso di funzione a valori reali) può essere rappresentata come serie di Fourier (a coefficienti complessi). Nel caso di funzione a valori reali i coefficienti complessi soddisfano ad alcune condizioni di simmetria, non verificate nel caso più generale.

No, la serie di Fourier è sempre effettuabile.
Se hai un segnale x(t)

periodico di periodo T puoi scrivere (sempre sotto le opportune ipotesi):

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {c_ke^{j2\pi \frac{k}{T} t}}$

con

$c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{-j2\pi \frac{k}{T} t}\, dt$

Il segnale x(t)

può essere scritto in sommatorie di seni e coseni:

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} {c_k\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+jc_k\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

Come vedi questa relazione è del tutto generale, ossia nel caso generico di x(t)

complesso, avrai dei coefficienti complessi a moltiplicazione delle funzioni sinusoidali.
Se il tuo segnale x(t)

è reale, allora x(t)=x^*(t)

, e ciò ti permette di scrivere:

$c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{j2\pi \frac{k}{T} t}\, dt$
$c^*_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x^*(t)e^{-j2\pi \frac{k}{T} t}\, dt$

Ossia (dalla seconda relazione) $c^*_{-k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{j2\pi \frac{k}{T} t}\, dt$ , che dà

$c_k=c^*_{-k}$

Scomponendo la sommatoria in parte positiva e parte negativa ottieni:

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{-1} {c_{k}\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+jc_{k}\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}+\sum_{k=0}^{+\infty} {c_k\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+jc_k\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

Dove il termine k=0

è "disaccoppiato", nel senso che non c'è un suo analogo negativo (come avviene per tutti i positivi k>1

), per cui puoi scrivere (ricordando che $\cos(-z)=\cos(z)$ e $\sin(-z)=-\sin(z)$ ):

$x(t)=c_0+\sum_{k=1}^{+\infty} {c_{-k}\cos(2\pi \frac{k}{T} t)-jc_{-k}\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}+\sum_{k=1}^{+\infty} {c_k\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+jc_k\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

O anche, raccogliendo i termini proporzionali ai seni e coseni:

$x(t)=c_0+\sum_{k=1}^{+\infty} {(c_k+c_{-k})\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+j(c_k-c_{-k})\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

Ci siamo quasi. Ricordando che $c_{-k}=c^*_k$ , puoi scrivere

$c_k+c_{-k}=c_k+c^*_k$
$c_k-c_{-k}=c_k-c^*_k$

c_k

era quell'integrale che valeva $c_k=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)e^{j2\pi \frac{k}{T} t}\, dt$ . Puoi tranquillamente scomporlo in parte reale e immaginaria sviluppando l'esponenziale complesso, chiamandole rispettivamente a_k

e

:

$a_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\cos(j2\pi \frac{k}{T} t)\, dt$
$b_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)\sin(j2\pi \frac{k}{T} t)\, dt$

Scrivendo ora c_k=a_k-jb_k

, avrai per le relazioni precedenti:

c_k+c^*_k=2a_k

Sostituendo un'ultima volta, ottieni infine:

$x(t)=c_0+\sum_{k=1}^{+\infty} {2a_k\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+2b_k\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

Siccome c_0=a_0+jb_0

e dato che b_0=0

, il tutto si riduce a ( a'=2a, b'=2b

):

$x(t)=\frac{a'_0}{2}+\sum_{k=1}^{+\infty} {a'_k\cos(2\pi \frac{k}{T} t)+b'_k\sin(2\pi \frac{k}{T} t)}$

Con

$a'_k=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\cos(2\pi \frac{k}{T} t)\, dt$
$b'_k=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\sin(2\pi \frac{k}{T} t)\, dt$

Che sono le formule che immagino già conosci. Questo significa che nel caso di segnale reale, il tutto si riduce ad una sommatoria di seni e coseni, moltiplicati da coefficienti reali. Principalmente la causa di ciò è la relazione $c_k=c^*_{-k}$ , cioè la simmetria hermitiana. Se ciò non è verificato, la serie esiste comunque, ma, come detto sopra, è una serie esponenziale complessa.

Ricapitolando:

+ se dico x(t)

reale sto indicando un segnale di variabile reale a valori reali ?

+ se dico x(t)

complesso sto indicando un segnale di variabile reale a valori complessi ?

+ se voglio indicare un segnale x(t)

di variabile complessa a valori complessi ?

$x(t) \in \mathbb{R}$ , con $t \in \mathbb{R}$ indica segnale reale a variabile reale (dominio reale, codominio reale; $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ). Es: $x(t)=3t+5, t \in \mathbb{R}$

$x(t) \in \mathbb{C}$ , con $t \in \mathbb{R}$ indica segnale complesso a variabile reale (dominio reale, codominio complesso; $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ ). Es: $x(t)=e^{jt}, t \in \mathbb{R}$

$x(t) \in \mathbb{R}$ , con $t \in \mathbb{C}$ indica segnale reale a variabile complessa (dominio complesso, codominio reale; $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ ). Es: $x(t)=|3t+5|, t \in \mathbb{C}$

$x(t) \in \mathbb{C}$ , con $t \in \mathbb{C}$ indica segnale complesso a variabile complessa (dominio reale, codominio complesso; $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ). Es: $x(t)=3t+5, t \in \mathbb{C}$

Se non ti viene specificato l'insieme di appartenenza di

, lo deduci da opportune considerazioni: in questo caso

è da intendersi come variabile tempo, dunque reale.

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Dialogo sulla serie di Fourier

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Re: Info Serie di Fourier

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