ElectroYou

Ho un piccolo problemino su le funzioni inverse.
Sappiamo tutti che una funzione per essere invertibile deve essere binietiva.
Pero se io ho una funzione che è binietiva solo nel insieme 0;+infinito ciò solo nel insieme R positivo e mi serve l'inversa solo nel R positivo poso trovarla.
Se si come quali sono i metodi.
Grazie!

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca o bijettiva, ovvero iniettiva e suriettiva (sai darmi le definizioni di queste due proprietà delle funzioni?).
Se hai una funzione della classica forma:

$y=f\left( x \right)$

il metodo per trovare l'inversa è riesplicitare le espressioni secondo la variabile

.
Si ottiene quindi una nuova funzione del tipo:

$x=g\left( y \right)$

è l'inversa di

, e viceversa, quando si ha che:

$(g\circ f)(x)=x$
$(f\circ g)(x)=x$

e si può allora dire che:

$g=f^{-1}$ .

Ora ti chiedo: cosa succederebbe se provassi brutalmente ad invertire una funzione non iniettiva? Ciò che otterresti sarebbe una funzione?

Ciao, volevo aggiungere solo una cosa alla risposta che è stata data, cioè si, se ti limiti solo al pezzo in cui è biettiva puoi trovare tranquillamente l'inversa, un esempio è la funzione seno e la sua inversa l'arcoseno.
Non voglio fare il precisino ma siccome è qualche giorno che bazzico qui, amo la matematica , non so una sega di matematica ma questa un Po' la so, ho voluto quindi contribuire

P.s.
Curiosita': una funzione invertibile è tale che composta con l'inversa ti dà l'identità, ma non è detto che se una funzione composta con un'altra ti da l'identità allora quella funzione è per forza biettiva e quindi invertibile e l'altra è la sua inversa, se però questo accade allora una funzione si chiama inversa destra e una inversa sinistra, se assumi vero l'assioma della scelta allora ogni funzione surgettiva ha inversa destra iniettiva e viceversa. O_/

Vi do un esempio se ho un funzione : f(x)=2x^2+3x-2

come trovo l' inversa solo nel insieme dove è biettiva.

La funzione è una parabola non centrata in {x,y}={0,0}, quindi conviene traslare gli assi e riportarla in tale punto.
Avendo definito f(x)=2x^2+3x-2

si ha che:

$f^\prime (x)=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{4}$

e

$f\left(- \frac{3}{4}\right)=- \frac{25}{8}$

Provvedo quindi alla traslazione, ottenendo:

$f\left(x - \frac{3}{4}\right)+ \frac{25}{8}=2x^2$

Si vede, quindi, che la parabola centrata in zero corrisponde a 2x^2

(calcolando esplicitamente il primo membro di quella traslazione).

Invertendo la formula ottengo:

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left[f\left(x - \frac{3}{4}\right)+ \frac{25}{8}\right]}=x$

che posso scrivere anche come:

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left[f\left(x\right)+ \frac{25}{8}\right]}=x + \frac{3}{4}$

$x=- \frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{2}\left[f\left(x\right)+ \frac{25}{8}\right]}$

Ho quindi che:

$f^{-1}(x)=- \frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{x}{2}+ \frac{25}{16}}$

Le due funzioni ottenute sono una positiva ed una negativa, quella negativa ha validità per il ramo della parabola originaria per $x<-\frac{3}{4}$ , l'altra altrimenti tranne il punto $x=-\frac{3}{4}$ , che è un punto a derivata nulla e come tale non rispetta il teorema del Dini.

Ciao,
Pietro.

Grazie! A me interessava questo argomento perché ho trovato una funzione per calcolare il tempo in quale si riempia un serbatoio di forma sferica in funzione dell' altezza. E dopo ho pensato di fare l' inversa per sapere l' altezza in funzione del tempo.
Grazie!

Questa sarebbe la mia funzione : t(h)=(pi/3q)(3Rh^2-h^3)

-quantità di liquido

-altezza del liquido

-ragione del serbatoio sferico

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Funzioni inverse

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