ElectroYou

Una domandina credo molto banale per molti di voi qui dentro.
Ho provato ad effettuare un cambio di coordinate e vedere come cambiano i domini che vengono disegnati, ad esempio un cerchio.
Definendo una funzione che trasforma le coordinate polari in cartesiane, ottengo per un cerchio di raggio

:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La corrispondenza è biunivoca (a parte l'origine), quindi non dovrebbe esserci motivo per il quale l'area delle due figure debba essere diversa, invece la prima risulta $2 \pi R$ e la seconda $\pi ^2 R$ .
E' casuale che la prima sia proprio l'espressione della lunghezza della circonferenza (qualcosa mi dice di no)?

Grazie a chi interverrà O_/

Ciao

Ianero!!

Provo ad aiutarti anche se sono troppo arrugginito su questo argomento

..dovrei riguardarmelo bene..

Il mio dubbio è se per caso devi considerare il Jacobiano avendo effettuato un cambio di coordinate, spero di non aver detto una cavolata ..

Era solo una mia prova molto "manuale" :mrgreen:

A stento so cosa sia un Jacobiano :oops:

Ianero ha scritto:La corrispondenza è biunivoca, quindi non dovrebbe esserci motivo per il quale l'area delle due figure debba essere diversa

Questa se ci ripensi bene è una vera e propria cosa da non dire :mrgreen:

Ci ho pensato dopo, senza correggere, in realtà la cosa succede già in una dimensione, ad esempio la bijezione tra $\mathbb{R}$ e (-1,1)

.
Sorry :)

Ianero ha scritto:E' casuale che la prima sia proprio l'espressione della lunghezza della circonferenza (qualcosa mi dice di no)?

~~Quanto a questa è come se avessi scelto arbitrariamente un lato del quadrato $\sqrt{e}$ e mi chiedessi se ha un senso profondo aver trovato che la sua area è~~

Frainteso il senso dei grafici da parte mia

Non capisco che vuoi dire, colpa mia eh, sia chiaro (e della mia stupidità).
Puoi spiegarmi meglio?

Almeno dal disegno mi sembra che li abbia imposti te direttamente i valori $2\pi$ e

Altrimenti non ottengo un cerchio..

Chiedo venia. Ho frainteso i tuoi grafici. Pensavo il rettangolo fosse sul grafico con coordiante cartesiane e mi aspettavo la curva equivalente sul grafico con coordinate polari. Poi ho guardato il nome degli assi :mrgreen:

Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^2$ un aperto limitato, sia inoltre

$\Phi:\Omega\longrightarrow \Phi(\Omega)\subset\mathbb{R}^2$

una trasformazione biunivoca (e solo lei!) data dalla legge:

$\Phi(u,v)=\begin{cases}x=\phi(u, v)\\ y=\psi(u,v)\end{cases}$

dove $\phi,\psi:\Omega\longrightarrow\Phi(\Omega)$ sono funzioni dotate di derivate parziali prime continue nel dominio.
Definiamo come Jacobiana associata alla trasformazione $\Phi$ la matrice:

$\mathbf{J}_{\Phi}(u,v)=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial u}&\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial v}\\ \\\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial v}\end{pmatrix}$

Si chiama invece Jacobiano della trasformazione il determinante della matrice Jacobiana.

$J_{\Phi}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial u}&\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial v}\\ \\\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial u}&\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial v}\end{pmatrix}$

Una proprietà molto utile è la seguente: sia $\Phi^{-1}: \Phi(\Omega)\longrightarrow\Omega$ la trasformazione inversa di $\Phi$ , allora la Jacobiana associata a tale trasformazione è:

$\mathbf{J}_{\Phi^{-1}}=\mathbf{J}_{\Phi}^{-1}$

cioè le matrici Jacobiane associate a trasformazioni inverse sono anche loro e tra loro inverse.
Applicando il teorema di Binet (lo ricordi,

Ianero?

) si ha che:

$J_{\Phi}=\mbox{det}\mathbf{J}_{\Phi}=\frac{1}{\mbox{det}\mathbf{J}_{\Phi^{-1}}}=\frac{1}{J_{\Phi^{-1}}}\quad$

che semplifica davvero molto i calcoli.

Jacobiano associato al cambiamento di coordinate polari:

Consideriamo la trasformazione data dalle coordinate polari

$\Phi(r,t)=\begin{cases}x(r,t)=r\cos(t)\\y(r,t)= r\sin(t)\end{cases}\quad\mbox{ con }r\textgreater 0, t\in (0, 2\pi)$

Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione è

$|J_{\Phi}|=\left| \mbox{det}\begin{pmatrix}\cos(t)&-r\sin(t)\\ \sin(t)& r\cos(t)\end{pmatrix}\right|=|r|=r$

$r\textgreater 0$ quindi il valore assoluto è superfluo.

Aggiungo che lo Jacobiano ha una importanza fondamentale nel cambiamento di coordinate nel calcolo integrale.
Quando dico questo qualche matematico aggiunge "quelli multipli!".
Non sono d'accordo, perché, in una sola dimensione, quando faccio una sostituzione alla funzione da integrare, devo differenziarla per poi riportarne il relativo valore all'interno dell'integrale: è la trasformazione jacobiana in una sola dimensione.

Ciao,
Pietro.

Che messaggione, grazie :)

Quello non è altro che il concetto di derivata esteso, ho capito bene?
Perché si va a guardare proprio il valore del determinante?

lo ricordi

Certo

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