ElectroYou

Un saluto a tutti O_/

L'altro giorno mi sono proposto il seguente esercizio:

$F(x) = \int f(x)\,\text{d}x = \int e^{\sin x} \,\text{d}x$

Il risultato a cui sono arrivato io, che suppongo sia sbagliato, è:

$F(x) = -{e^{\sin x} \over \cos x} + c$

Direi che è sbagliata anche perché, simulando il risultato con wolfram alpha ottengo:

'no result found in terms of standard mathematical functions'

Geogebra è più ambiguo: Segnala un punto interrogativo ' ? '.

Ho chiesto spiegazioni alla professoressa di analisi, ma non è che mi abbia dato una spiegazione chiara ed esaustiva... Mi ha consigliato di concentrarmi sugli argomenti del corso piuttosto di preoccuparmi di questo problema.. ||O

È dunque vero che non esiste o non è possibile calcolare la primitiva della funzione

$F(x) = \int f(x)\,\text{d}x = \int e^{\sin x} \,\text{d}x$

:?:

Ringrazio in anticipo.

O_/

Ciao

simo85!

L' altra volta avevo provato a risponderti, ma poi avevi cancellato il post! #-o

Volevo precisarti che nello studio del calcolo integrale, usiamo una classe di funzioni dette "funzioni elementari", cioè quelle che possono essere costruite attraverso l' uso di potenze, funzioni trigonometriche, logaritmiche, e usando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, e composizione.

Ogni funzione (a una variabile) esprimibile con funzioni elementari può essere derivata, mentre non sempre può essere integrata, visto che la sua primitiva non è sempre esprimibile con funzioni elementari.

Nel tuo caso, non esiste una funzione elementare la cui derivata sia $e^{\sin x }$

Se, ad esempio, avessi avuto:

$\int {(\cos x) (e^{\sin x}) d x}$ ,

allora saresti stato in grado di risolverlo.

Magari, forse, potresti approssimare la tua funzione integranda con un Polinomio di Taylor, ma l' integrale della funzione approssimata approssimerà solo localmente l' integrale da te postato inizialmente.

Puoi trovare di più qui e qui.

Ps: preferirei che quanto detto possa essere confermato/smentito da

PietroBaima e/o da

DirtyDeeds (senza fretta eh!); e vorrei chiedere a loro se conoscono qualche metodo per risolvere questi integrali. :mrgreen:

Ho fatto altre prove di simulazione.

Una com Microsoft Mathematics: il risultato in uscita è uguale alla definizione dell'integrale di f(x)

.
Quindi ne so quanto prima..
Maxima va in crash.. :mrgreen:

Invece con Octave ho definito un intervallo per

:

Codice: Seleziona tutto: x = linspace(-10,10);

Successivamente ho definito una funzione:

Codice: Seleziona tutto: function y = f(x) y = exp(sin(x)); endfunction

E poi ho usato la funzione quad come suggerito qui: http://homepages.math.uic.edu/~hanson/O ... ralEG.html

Codice: Seleziona tutto: [area, ierror, nfneval] = quad("f",x,-x) warning: implicit conversion from real matrix to real scalar warning: implicit conversion from real matrix to real scalar area = 25.076 ierror = 0 nfneval = 273

Quindi sembra che Octave valuti una integrale definita:

$F(x) = \int_{-x}^{\,x} e^{\sin x} \,\text{d}x$

:-k

EDIT: infatti:

Codice: Seleziona tutto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_%28-10%29^%2810%29+e^{sinx}

Grazie

gotthard per la risposta.

Si l'altro giorno poi ho cancellato il messaggio ... :mrgreen:

Mi leggo bene i tuoi link. :-)

Per chi capisse lo spagnolo, ho trovato questo PDF che sembra spiegare molto bene l'argomento.
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Primitivas.pdf

gotthard ha scritto: preferirei che quanto detto possa essere confermato/smentito da ...

Si, sarebbe interessante leggere una loro risposta.. :-)

simo85 ha scritto:Il risultato a cui sono arrivato io, che suppongo sia sbagliato, è:

$F(x) = -{e^{\sin x} \over \cos x} + c$

E' facile vedere che quel risultato è sbagliato, basta derivare:

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = -\mathrm{e}^{\sin x}\left(1+\frac{\sin x}{\cos^2 x}\right)$

Se riporti come sei giunto a quella funzione, ti possiamo dire dove hai sbagliato.

Come detto da

gotthard, e come ha confermato Wolfram Alpha, l'integrale indefinito della funzione $\mathrm{e}^{\sin x}$ non è esprimibile per mezzo di funzioni elementari. Esistono dei teoremi (p.es. teorema di Liouville e algoritmo di Risch), piuttosto tecnici, che permettono di decidere se una certa funzione è integrabile in modo elementare. L'implementazione di tali algoritmi in un CAS (computer algebra system) è piuttosto complessa.

Il fatto che l'integrale di una funzione non sia esprimibile per mezzo di funzioni elementari non significa che l'integrale di quella funzione non esista, né implica che non esista l'integrale definito di tale funzione in un certo intervallo. Ma non solo, l'integrale definito potrebbe pure essere calcolabile senza ricorrere a tecniche numeriche.

Infine, Octave è un programma di analisi numerica, quindi gli integrali definiti vengono calcolati con formule di quadratura numerica.

DirtyDeeds ha scritto:E' facile vedere che quel risultato è sbagliato, basta derivare:

Si successivamente con calma ho comprovato anche tramite wolfram alpha come hai riportato tu.

DirtyDeeds ha scritto:Se riporti come sei giunto a quella funzione, ti possiamo dire dove hai sbagliato.

Io ho applicato il metodo della sostituzione.
Adesso, risvolgendo l'integrale secondo la mia soluzione, mi rendo conto che il segno

nella mia soluzione del messaggio [1] è un errore, avevo fatto confusione al principio..

$\begin{aligned} & F(x) = \int e^{\sin x} \,\text{d}x \\ & u = \sin x\\ & {\text{d}u \over \text{d}x} = \cos x \Rightarrow \text{d}x = {\text{d}u \over \cos x} \\ & F(x) = \int e^{u} \, {\text{d}u \over \cos x}= {e^{\sin x} \over \cos x} + c\\ \end{aligned}$

simo85 ha scritto: $\int e^{u} \, {\text{d}u \over \cos x}= {e^{\sin x} \over \cos x} + c$

Qui c'è l'errore: quando fai la sostituzione,

diventa una funzione di

e non puoi trattare $\cos x$ come una costante:

$\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1-u^2}$

L'integrale dopo la sostituzione diventa:

$\int\frac{\mathrm{e}^{u}\text{d}u}{\sqrt{1-u^2}}$

A regola credo che se risolvi questo
$\int e^{e^{x}} dx$
automaticamente dovresti poi trovare il risultato (se esiste) che stai cercando

infatti
$\sin x = \frac {e^{\text{i}x}-e^{-\text{i}x}} {2\text{i}}$

forse cosi' è piu' semplice lavorare al problema

DirtyDeeds ha scritto:quando fai la sostituzione, diventa una funzione di e non puoi trattare $\cos x$ come una costante

Giusto!

(peccato aver abusato dei voti oggi

).

Capisco che mi devo esercitare di più ...

Dimenticavo, grazie

DirtyDeeds

Russell ha scritto:automaticamente dovresti poi trovare il risultato (se esiste) che stai cercando

Diciamo che più che il risultato cercavo una dimostrazione.

Mi ero inventato questo esercizio, vuoi per non fare sempre gli stessi, vuoi per curiosità ... :-)

Così dopo il risultato ottenuto ho provato, come faccio sempre, a verificare il risultato con wolfram alpha o con Geogebra..

Tutti e due non mi davano nessun risultato, ed io non ci ho mai creduto al fatto che non fosse possibile calcolare la primitiva anche se questa volta mi hanno fregato. :mrgreen:

Che dire: Non fidarsi mai dei simulatori !

A parte gli scherzi, negli appunti di analisi questo discorso non è stato approfondito, ed io come sempre, devo andare a cercare la strada per "complicarmi" la vita.. :-)